黄金比

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縦と横の長さの比の値が黄金比の近似値1:1.618である長方形。

黄金比(おうごんひ、英語: golden ratio)は、

1 : \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

である。近似値は1:1.618、約5:8。

線分a, b の長さで 2 つに分割するときに、a : b = b : (a + b) が成り立つように分割したときの比 a : b のことであり、最も美しい比とされる。貴金属比の1つ(第1貴金属比)。

黄金比において

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

は、二次方程式 x2 - x - 1 = 0 の正のであり、これを黄金数(おうごんすう、英語: golden number)という。しばしばギリシア文字φ(ファイ)で表されるが、τ(タウ)を用いる場合もある。

\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\ldots

黄金数には,次のような性質がある。

\phi^2 = \phi + 1 \ \  = 2.6180339887\ldots
1/\phi = \phi - 1 \,   = 0.6180339887\ldots

黄金比は中末比(ちゅうまつひ)や外中比(がいちゅうひ)とも呼ばれる。a : b = b : (a + b) が成り立つとき、a末項(まっこう)、b中項(ちゅうこう)という。

性質[編集]

黄金長方形(辺の長さの比が黄金比になる四角形)の黄金分割。黄金長方形から短辺を一辺とする正方形を取り除くと、残る部分はまた黄金長方形となる。これを繰り返すと、黄金長方形は無限個の正方形で埋め尽くされる。
{{-1 + \sqrt 5 } \over 2} : 1 = 1 : {{1 + \sqrt 5 } \over 2} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} : {{3 + \sqrt 5 } \over 2}

上式を小数の近似値で表示すると、0.618 : 1 ≒ 1 : 1.618 ≒ 1.618 : 2.618 となる。

黄金数は次のような美しい連分数表示をもつ。

\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} = [1;1,1,1,1,\ldots]

次のような表示ももつ。

\phi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \ldots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}
\phi^{-1} = \phi -1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = 0.6180339887\ldots\,
\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\ldots}}}}}
\phi = \frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}

三角関数を使うと次のように表すことができる。

\phi = 2\cos{\pi \over 5}=2\cos 36^\circ
\phi = 2\sin{{3 \pi} \over 10}=2\sin 54^\circ
\phi = -2\sin(666^\circ)
\phi = 1+2\sin{\pi \over 10} = 1 + 2\sin 18^\circ
\phi = 1+2\cos{{2 \pi} \over 5} = 1 + 2\cos 72^\circ
\phi = {1 \over 2}\csc{\pi \over 10} = {1 \over 2}\csc 18^\circ
\phi^{-1} = 2\sin{\pi \over 10} = 2\sin 18^\circ
\phi^{-1} = 2\cos{{2 \pi} \over 5} = 2\cos 72^\circ

フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する。また、 1, φ, φ2, φ3, φ4, ... という等比数列を考えたとき、1 + φ = φ2 を利用すると

φ = φ,
φ2 = φ + 1,
φ3 = 2φ + 1,
φ4 = 3φ + 2,
φ5 = 5φ + 3,
φ6 = 8φ + 5,
...

となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。フィボナッチ数列の第 n 項を Fn とすると、φn は次のようになる。

φn = Fnφ + Fn-1

黄金比で長さを分けることを黄金比分割または黄金分割という。

幾何学的には正五角形五芒星(星形:☆)から容易に得ることができる。正五角形の一辺と対角線の比、五芒星を構成する線分と頂点を結ぶ線分の比は、黄金比となる。

歴史[編集]

ジャック=ルイ・ダヴィッドの『レカミエ像』(1800年)。構図が安定して見えるのは、夫人の横たわる姿が黄金比の長方形に収まるように構成されているからだという。
  • 伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス (Φειδίας) が初めて使ったといわれる。黄金数の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。
  • レオナルド・ダ・ヴィンチも発見していた記録が残っている。
  • 「黄金比」という用語が文献上に初めて登場したのは1835年刊行のドイツの数学者マルティン・オーム(オームの法則で有名なゲオルク・ジーモン・オームの弟)の著書『初等純粋数学』。また、1826年刊行の初版にはこの記載がないことから、1830年頃に誕生したと考えられる。
  • ユークリッド原論』では第6巻の定義3で外中比の定義が記されている。
  • 『ユークリッド原論』の第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。

黄金比の近似値[編集]

1:

1.
6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 ・・・・・・

現在の用途[編集]

黄金比は、名刺を初め、様々なカード類の縦横比にも利用されることが多い。

ディスプレイアスペクト比には、WUXGA解像度1920x1200)など、黄金比に近い8:5のものもある。

作図[編集]

黄金比.svg

正方形 abcd を作り、辺 bc の中点 o を中心に、線分 oa または od を半径とした円を描き、それと辺 bc の延長線との交点を e とすると、ab : be が黄金比となる。

その他[編集]

  • 黄金比はパルテノン神殿ピラミッドといった歴史的建造物美術品の中に見出すことができるという。また、自然界にも現れ、植物の並び方や巻き貝の中にも見付けることができるといった主張がある。これらの主張から、最も安定し美しい比率とされ、意図的に黄金比を意識して創作した芸術家も数多い(以上の主張の詳細とその検討は文献のマリオ・リヴィオを参照)。
  • 長方形は縦と横との関係が黄金比になるとき、安定した美感を与えるという説があり、これはグスタフ・フェヒナーの1867年の実験を論拠としている。しかし、1997年に国際経験美学会誌の黄金分割特集ではこの実験結果を「永遠に葬るもの」とする見解があるなど、フェヒナーの実験結果の解釈については肯定的もしくは否定的な様々な見解がある。
  • また類似の安定した比として白銀比がある。
  • 自動車ではスポーツカートレッド(輪距)とホイールベース(軸距)の関係が黄金比に近い。具体的には 1,500 mm 程度のトレッドに対し、ホイールベースが2,400 mm 前後と、やや短い値となる。
  • 黄金比は美容外科にても用いられ、身体において、足底から臍(へそ)までの長さと、臍から頭頂までの長さの比が黄金比であれば美しいとされることがある。また、顔面の構成要素である目、鼻、口などの長さや間隔、細かな形態も黄金比に合致すれば美しいとされることがある。

参考文献[編集]

  • ハンス・ヴァルサー『黄金分割』日本評論社 ISBN 4535783470
  • R.A.ダンラップ『黄金比とフィボナッチ数』日本評論社 ISBN 4535783705
  • 中村滋『フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社 ISBN 4535782814
  • 佐藤修一『自然にひそむ数学―自然と数学の不思議な関係』講談社ブルーバックス ISBN 406257201X
  • アルプレヒト・ボイテルスパッヒャー、ベルンハルト・ペトリ『黄金分割―自然と数理と芸術と』共立出版 ISBN 4320017811
  • 高木貞治『数学小景』岩波現代文庫 ISBN 4006000812
  • ユークリッド原論(縮刷版)』共立出版 ISBN 4320015134
  • マリオ・リヴィオ『黄金比はすべてを美しくするか?』共立出版 ISBN 4152086912
  • 関隆志『古代アッティカ杯―ギリシア美術の比例と装飾の研究』 ISBN 4805505761

関連項目[編集]

外部リンク[編集]