貴金属比
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数学において、貴金属比(ききんぞくひ、英語: metallic ratio)とは、
- (n は自然数)
で表される比のことである。
線分比 a : b が第n貴金属比であるとは、
が成り立つことを意味する。
を貴金属数(ききんぞくすう、英語: metallic number)という。第n貴金属数 Mn は、逆数との差が自然数 n である正の実数、つまり
- (n は自然数)
で特徴付けられる。
貴金属数[編集]
n | 第n貴金属数 | 小数展開 | オンライン整数列大辞典 | 別名 |
---|---|---|---|---|
0 | 1 | |||
1 | 1.6180339887… | A001622 | 黄金数 | |
2 | 2.4142135623… | A014176 | 白銀数 | |
3 | 3.3027756377… | A098316 | 青銅数 | |
4 | 4.2360679774… | A098317 | ||
5 | 5.1925824035… | A098318 | ||
6 | 6.1622776601… | A176398 | ||
7 | 7.1400549446… | A176439 | ||
8 | 8.1231056256… | A176458 | ||
9 | 9.1097722286… | A176522 | ||
… | … | |||
n |
自然数 n に対して、第 n 貴金属数は、二次方程式 x2 − nx − 1 = 0 の正の解であり、
である。
貴金属数の累乗[編集]
連分数表示[編集]
貴金属数の連分数表示は
である。
数列の商の極限[編集]
黄金数(第1貴金属数)が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。
数列 {Mk} を、漸化式
で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、
で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、
が成り立つ。
青銅比[編集]
青銅比(せいどうひ、英語: bronze ratio)は、
の比である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ(第3貴金属比)。
青銅比において
は、二次方程式 x2 − 3x − 1 = 0 の正の解であり、これを青銅数(せいどうすう、英語: bronze number)という。
青銅数を連分数で表すと
となる。