貴金属比

数学において、貴金属比（ききんぞくひ、英語: metallic ratio）とは、

$1:{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$（n は自然数）

で表される比のことである。

貴金属数

貴金属数

0	(0+√4)/2	1	1
1	(1+√5)/2	(1+√5)/2	1.6180339887…
2	(2+√8)/2	1+√2	2.4142135623…
3	(3+√13)/2	(3+√13)/2	3.3027756377…
4	(4+√20)/2	2+√5	4.2360679774…
5	(5+√29)/2	(5+√29)/2	5.1925824035…
6	(6+√40)/2	3+√10	6.1622776601…
7	(7+√53)/2	(7+√53)/2	7.1400549446…
8	(8+√68)/2	4+√17	8.1231056256…
9	(9+√85)/2	(9+√85)/2	9.1097722286…
…	…
n	$(n+{\sqrt {n^{2}+4}})/2$

貴金属数（ききんぞくすう、英語: metallic number）とは、逆数との差が自然数である実数である。

n が自然数の時、第 n 貴金属数は、 ${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$ で表され (根号内の4と、分母の2の意味は、それぞれ(2
1)², (2
1)である)、これは二次方程式 x² − nx − 1 = 0 の正の解である。

特に第 1 貴金属数 (1+√5)/2 を黄金数、第 2 貴金属数 1+√2 を白銀数、第 3 貴金属数 (3+√13)/2 を青銅数という。

貴金属数と逆数

第 n 貴金属数の逆数は、${\frac {-n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$ で表され、第 n 貴金属数との差は、自然数 n である。

例：9.1097722286… − 1/9.1097722286… (= 0.1097722286…) = 9

貴金属数の累乗

貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数である。

貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数との和が自然数である実数である。

連分数として

貴金属数には連分数表示があり、それは、

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

である。

数列の商の極限として

黄金数（第 1 貴金属数）が、フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣り合う 2 項の商の極限で表せるような数列が存在する。

数列 {M_k} を、漸化式

$M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}$

で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、

$M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}$

で表される。このとき、この数列の隣り合う 2 項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、

$\lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu$

が成り立つ。

青銅比

青銅比（せいどうひ、英語: bronze ratio）は、

$1:{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$

の比である。近似値は1:3.303。貴金属比のひとつ（第3貴金属比）。

青銅比において

${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}=3.3027756377\ldots$

は、二次方程式 x²-3x-1=0 の正の解であり、これを青銅数（せいどうすう、英語: bronze number）という。

青銅数を連分数であらわすと

$3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$

となる。

関連項目

• 黄金比
• 白銀比
• 白金比