貴金属比

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数学において、貴金属比(ききんぞくひ、英語: metallic ratio)とは、

n は自然数)

で表されるのことである。

貴金属数[編集]

貴金属数
0 (0+4)/2 1 1
1 (1+5)/2 (1+5)/2 1.6180339887…
2 (2+8)/2 1+2 2.4142135623…
3 (3+13)/2 (3+13)/2 3.3027756377…
4 (4+20)/2 2+5 4.2360679774…
5 (5+29)/2 (5+29)/2 5.1925824035…
6 (6+40)/2 3+10 6.1622776601…
7 (7+53)/2 (7+53)/2 7.1400549446…
8 (8+68)/2 4+17 8.1231056256…
9 (9+85)/2 (9+85)/2 9.1097722286…
n

貴金属数(ききんぞくすう、英語: metallic number)とは、逆数との自然数である実数である。

n自然数の時、n 貴金属数は、 で表され (根号内の4と、分母の2の意味は、それぞれ(2
1
)
2, (2
1
)
である)、これは二次方程式 x2nx − 1 = 0 の正の解である。

特に第 1 貴金属数 (1+5)/2 を黄金数、第 2 貴金属数 1+2白銀数、第 3 貴金属数 (3+13)/2 を青銅数という。

貴金属数と逆数[編集]

n 貴金属数の逆数は、 で表され、第 n 貴金属数との差は、自然数 n である。

例:9.1097722286… − 1/9.1097722286… (= 0.1097722286…) = 9

貴金属数の累乗[編集]

貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数である。

貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数とのが自然数である実数である。

連分数として[編集]

貴金属数には連分数表示があり、それは、

である。

数列の商の極限として[編集]

黄金数(第 1 貴金属数)が、フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣り合う 2 項の商の極限で表せるような数列が存在する。

数列 {Mk} を、漸化式

で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、

で表される。このとき、この数列の隣り合う 2 項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、

が成り立つ。

関連項目[編集]