立方根

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

定義

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを ${\sqrt[{3}]{a}}$ と表す。

性質

• 正の数 a に対して、

  ${\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.$

• 1 の虚立方根の一つを ω とすると、もう一つの虚立方根は ω² であり、ω, ω² はともに 1 の原始冪根である。また、1 + ω + ω² = 0 が成り立つ。
• α が 0 でない複素数ならば、α の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 O を中心とする半径 ${\sqrt[{3}]{|\alpha |}}$ の円に内接する正三角形の頂点になる。

具体的な数

• ${\sqrt[{3}]{2}}=1.2599210498\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A002580)
• ${\sqrt[{3}]{3}}=1.4422495703\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A002581)
• ${\sqrt[{3}]{4}}=1.5874010519\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A005480)
• ${\sqrt[{3}]{5}}=1.7099759466\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A005481)
• ${\sqrt[{3}]{6}}=1.8171205928\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A005486)
• ${\sqrt[{3}]{7}}=1.9129311827\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A005482)
• ${\sqrt[{3}]{8}}=2$
• ${\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots$(オンライン整数列大辞典の数列 A010581)

関連項目

• 立方数
• 冪根
• 平方根
• 代数的数
• 定規とコンパスによる作図（三大問題の内の「立方倍積問題」）