立方数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

立方数(りっぽうすう、cubic number)とは、ある数 n の三乗(立方)となる数である。例えば 125 は 53 であるので立方数である。自然数の最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000,9261,10648,12167,13824,15625 …(オンライン整数列大辞典の数列 A578

個数が立方数である点を縦、横、高さの三方向に等間隔に並べることで正六面体(立方体)の形を作れることから、「六面数」と呼ばれることもある。例えば216個の点は縦、横、高さの一辺にそれぞれ6個ずつ並べることで正六面体の形を作ることができる。

立方数の性質[編集]

1を除く全ての立方数は、2つの平方数の差として表される。

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。(→フェルマーの最終定理

立方数の和[編集]

  • 1からn 番目の立方数 N = n3 までのは、
となる。つまりn番目の三角数の2乗に等しい。したがって、次の等式が成り立つ[1]
これは、1 から n 番目までの立方数の和が、1 から n までの自然数の和 (三角数) の2乗に等しいことを意味している。具体的には
1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A000537)
  • 立方数の逆数和は収束し、次のように表される。
この値は 1.202056903159594… であり、アペリーの定数とよばれる。
  • すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される(ウェアリングの問題)。このうち丁度9個使用するものは、23239だけである。

その他の関連[編集]

SI接頭辞kMGなどはそれぞれ 103, 106, 109 であり、立方数である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ この性質は視覚的に証明が可能である。PROBLEM COLLECTION”. 2015年3月12日閲覧。

外部リンク[編集]