レピュニット

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
Jump to navigation Jump to search

レピュニット (レピュニット数レプユニット数単位反復数: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである[注釈 1]

10進法におけるレピュニットは Rn = (10n − 1) / 9 の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、Rn素数となる。2進法におけるレピュニットはメルセンヌ数 (Mn = 2n − 1) である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質[編集]

mn を割り切るならば、RmRn を割り切る。よって、n合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき(n が 1 = 30 のときも含む)は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数
  • 偶数 - 11
    • 4の倍数 - 11 · 101
  • 3の倍数 - 3 · 37
  • 5の倍数 - 41 · 271
  • 7の倍数 - 239 · 4649
  • 17の倍数 - 2071723 · 5363222357
など

901型の例[編集]

[3][4][5][6]

n
R06 R2 × R3 1221 × 91 7 · 13
R10 R2 × R5 122221 9091
R14 R2 × R7 12222221 909091
R18 R2 × R9 1222222221 90909091 7 · 13 · 19 · 52579
R22 R2 × R11 122222222221 9090909091 11 · 23 · 4093 · 8779
  • R20 = 1222210000122221 × 9091
  • R24 = 112233332211 × 990000999901
  • R12 = 11222211 × 9901
  • R24 = 1111222222221111 × 99990001
  • R28 = 1222222100000012222221 × 909091
  • R36 = 333000333333000333 × 999999000001
  • R38 = 12222222222222222221 × 909090909090909091
  • R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
など
  • R06 = 11 × (9091 + 1010)
  • R08 = 11 × (909091 + 101010)
  • R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

1と0のみで表す例[編集]

n (10n/2 − 1) / 9 [7] 10n/2 + 1
R02 1 1 × 11 11
R04 11 11 × 101 101
R06 3 · 37 111 × 1001 7 · 11 · 13
R08 11 · 101 1111 × 10001 73 · 137
R10 41 · 271 11111 × 100001 11 · 9091
n
R02 0001 × 11 1 × 11
R03 # 0001 × 111
R04 $ 0001 × 1111 11 × 101
R05 % 0001 × 11111
R06 & 0001 × 111111 111 × 1001
# 0011 × 10101
R07 * 0001 × 1111111
R08 $ 0011 × 1010101 1111 × 10001
R09 # 0111 × 1001001
R10 % 0011 × 101010101 11111 × 100001
R12 & 0011 × 10101010101 111111 × 1000001
$ 0111 × 1001001001
# 1111 × 100010001
R14 * 0011 × 1010101010101 1111111 × 10000001
n
R06 1 × 111 × 1001 91 · 11
R12 11 × 10101 × 1000001 9901 · 101
R18 111 × 1001001 × 1000000001 999001 · 1001
R24 1111 × 100010001 × 1000000000001 99990001 · 10001
n
R04 11 × 101
R08 101 × 110011
R12 1001 × 111000111 1221001221 × 91
R16 10001 × 111100001111
R20 100001 × 111110000011111 1222210000122221 × 9091
R24 1000001 × 111111000000111111 1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数[編集]

[8]

n Rn×(10n+1)
[9][10][11]
R02 6252 6252 6252
R03 562 − 552 562552
R04 562 − 452 5562 − 5552
R05 55562 − 55552
R06 5562 − 4452 555562 − 555552 5056250452 6562 − 5652
R07 5555562 − 5555552
R08 55562 − 44452 0G(省略)
R09 0F(省略) 50055625004452
R10 0E(省略) 0E(省略) 656562 − 565652
R11 0D(省略)
R12 0C(省略) 0C(省略) 500055562500044452
R13 0B(省略)
R14 0C(省略) 0A(省略) 65656562 - 56565652

知られているレピュニット素数[編集]

現在、Rnn = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。n = 49081, 86453 の場合も確率的素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し[12]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[13]。また、同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[14]

Rn = (10n − 1) / 9
No. n 発見者
1 2 - -
2 19 - -
3 23 - -
4 317 1978 Williams
5 1031 1986 Williams, Dubner
6 49081 ? 1999 Dubner
7 86453 ? 2000 Baxter
8 109297 ? 2007 Dubner
9 270343 ? 2007 Voznyy

レピュニットの素因数分解[編集]

レピュニットは、25を除く素数の積で構成されている[15]

基数 10 のレピュニットの R1 から R120 までの素因数分解の一覧を示す[16]

背景が水色のセルは n素数の場合の Rn を示す。

素因数の数(含重複)

基数10 のレピュニットの R1 から R120 までの素因数分解の表
Rn 素因数分解
 
R01 0 01
R02 1 11 (素数)
R03 2 03 · 37
R04 2 11 · ‾C101
R05 2 41 · 271
R06 5 03 · 07 · 11 · 13 · 37
R07 2 ‾C239 · 4649
R08 4 11 · 73 · ‾C101 · 137
R09 4 032 · 37 · ‾F333667
R10 4 11 · 41 · ‾C271 · 9091
R11 2 ‾E21649 · 513239
R12 7 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C101 · 9901
R13 3 53 · 79 · 265371653
R14 4 11 · ‾C239 · 4649 · 909091
R15 6 03 · 31 · 37 · 41 · ‾C271 · 2906161
R16 6 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R17 2 ‾G2071723 · 5363222357
R18 9 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾E52579 · 333667
R19 1 ‾S1111111111111111111 (素数)
R20 7 11 · 41 · ‾C101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R21 7 03 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R22 7 112 · 23 · ‾D4093 · 8779 · 21649 · 513239
R23 1 ‾W11111111111111111111111 (素数)
R24 10 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R25 5 41 · 271 · ‾E21401 · 25601 · 182521213001
R26 6 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R27 7 033 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R28 8 11 · 29 · ‾C101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R29 5 ‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R30 13 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · ‾C211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
R31 3 ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359
R32 11 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
R33 6 03 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
R34 6 11 · ‾C103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
R35 7 41 · 071 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
R36 12 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾C101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
R37 3 ‾G2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
R38 3 11 · ‾R909090909090909091 · 1111111111111111111
R39 6 03 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
R40 11 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
R41 4 83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361
R42 15 03 · 072 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
R43 4 ‾C173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641
R44 11 112 · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
R45 10 032 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
R46 6 11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
R47 2 ‾H35121409 · 316362908763458525001406154038726382279
R48 13 03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · ‾C101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
R49 4 ‾C239 · 4649 · ‾I505885997 · 1976730144598190963568023014679333
R50 10 11 · 41 · ‾C251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
R51 8 03 · 37 · ‾C613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
R52 9 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
R53 4 ‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071
R54 14 033 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
R55 8 41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
R56 12 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
R57 6 03 · 37 · ‾E21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
R58 8 11 · 59 · ‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
R59 2 ‾M2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
R60 20 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · ‾C101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
R61 7 ‾C733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479
R62 5 11 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
R63 14 032 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
R64 15 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
R65 7 41 · 053 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
R66 15 03 · 07 · 112 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
R67 3 ‾F493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677
R68 10 11 · ‾C101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
R69 6 03 · 37 · ‾C277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
R70 12 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
R71 2 ‾ZD241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839
R72 18 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
R73 3 ‾K12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637
R74 7 11 · ‾D7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
R75 12 03 · 31 · 37 · 41 · ‾C151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
R76 6 11 · ‾C101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
R77 8 ‾C239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043
R78 15 03 · 07 · 11 · 132 · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991
R79 6 ‾C317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917
R80 15 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681
R81 13 034 · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117
R82 7 11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361
R83 3 ‾M3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477
R84 21 03 · 072 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849
R85 7 41 · 271 · ‾G2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081
R86 8 11 · ‾C173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241
R87 10 03 · 37 · ‾D3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483
R88 15 112 · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953
R89 5 ‾F497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159
R90 22 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721
R91 12 53 · 79 · 239 · 547 · 4649 · 14197 · 17837 · 4262077 · 265371653 · 43442141653 · 316877365766624209 · 110742186470530054291318013
R92 10 11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901
R93 6 03 · 37 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
R94 6 11 · ‾D6299 · 35121409 · 4855067598095567 · 297262705009139006771611927 · 316362908763458525001406154038726382279
R95 8 41 · 191 · 271 · 59281 · 63841 · 1111111111111111111 · 1289981231950849543985493631 · 965194617121640791456070347951751
R96 22 03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 97 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 9901 · 69857 · 206209 · 5882353 · 99990001 · 66554101249 · 75118313082913 · 9999999900000001
R97 3 ‾H12004721 · 846035731396919233767211537899097169 · 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
R98 8 11 · ‾C197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 · 5076141624365532994918781726395939035533
R99 12 032 · 37 · 67 · 199 · 397 · 21649 · 34849 · 333667 · 513239 · 1344628210313298373 · 362853724342990469324766235474268869786311886053883
R100 17 11 · 41 · ‾C101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001 · 14103673319201 · 78875943472201 · 1680588011350901
R101 3 ‾ZB4531530181816613234555190841 · 129063282232848961951985354966759 · 18998088572819375252842078421374368604969
R102 16 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C103 · 613 · 4013 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 21993833369 · 291078844423 · 13168164561429877 · 377526955309799110357
R103 3 ‾D1031 · 7034077 · 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853
R104 13 11 · 53 · 73 · 79 · 101 · 137 · 521 · 859 · 1580801 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 · 632527440202150745090622412245443923049201
R105 17 03 · 31 · 37 · 41 · 43 · 71 · 239 · 271 · 1933 · 4649 · 123551 · 2906161 · 10838689 · 30703738801 · 625437743071 · 102598800232111471 · 57802050308786191965409441
R106 6 11 · ‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 47198858799491425660200071 · 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
R107 8 ‾C643 · 999809 · 9885089 · 215257037 · 2386760191 · 511399538427507881 · 646826950155548399 · 10288079467222538791302311556310051849
R108 20 033 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 999999000001 · 440334654777631 · 59779577156334533866654838281
R109 4 ‾G1192679 · 712767480971213008079 · 5295275348767234696493 · 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547
R110 18 112 · 23 · 41 · 271 · 331 · 1321 · 4093 · 5171 · 8779 · 9091 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 20163494891 · 318727841165674579776721 · 1300635692678058358830121
R111 9 03 · 372 · 2028119 · 247629013 · 30557051518647307 · 2212394296770203368013 · 8845981170865629119271997 · 90077814396055017938257237117
R112 17 11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401 · 127522001020150503761 · 119968369144846370226083377
R113 3 ‾C227 · 908191467191 · 5389571231221771906526710342668539729849­8705173449226555003346881878523705781079­015749721646701723
R114 12 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾E21319 · 1458973 · 10749631 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 · 753201806271328462547977919407
R115 8 41 · 271 · ‾E31511 · 19707665921 · 20414137203567631 · 11111111111111111111111 · 5799951513941382144830754391 · 122403569491783662720773144041
R116 13 11 · 59 · ‾C101 · 349 · 3191 · 16763 · 38861 · 43037 · 62003 · 618049 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 · 1181180637520183640867963573625866958318­7541
R117 12 032 · 37 · 53 · 79 · 333667 · 265371653 · 240396841140769 · 537947698126879 · 3352825314499987 · 900900900900990990990991 · 2304017384484085131816292573
R118 6 11 · ‾D1889 · 2559647034361 · 1090805842068098677837 · 4411922770996074109644535362851087 · 4340876285657460212144534289928559826755­746751
R119 8 ‾C239 · 4649 · ‾F923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 3230129421485627516508145444373504546404­48842187
R120 26 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001

一般化[編集]

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してレピュニットは Rn(a) = (an − 1) / (a − 1) と定義される。

a = 2 ならば、これはメルセンヌ数に一致する。また、a が素数ならば、これは an − 1約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない(Bugeaud 1999b[17])。

Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。

脚注[編集]

[ヘルプ]

注釈[編集]

  1. ^ アルバート・ベイラーは以下のように記している:

    A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. [1]

出典[編集]

  1. ^ Beiler 2013, pp. 83
  2. ^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417.
  3. ^ 电算游戏(六)“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
  4. ^ 电算游戏(六)之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
  5. ^ 1111…1という数(レピュニット)の素因数分解を納得する - アジマティクス
  6. ^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
  7. ^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
  8. ^ World!Of Numbers
  9. ^ Number Theory の話題(Repunit Number と Zsigmondy's Theorem)
  10. ^ nombre - onze en maths
  11. ^ persistance et repdigits
  12. ^ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List
  13. ^ Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。
  14. ^ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List
  15. ^ レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語.
  16. ^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2016年12月23日閲覧。
  17. ^ Yann Bugeaud, On the diophantine equation , Number Theory ( Turku, 1999), 19–24, de Gruyter, 2001.

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]