レピュニット

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

レピュニット (レピュニット数レプユニット数単位反復数: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである[注釈 1]

10進法におけるレピュニットは Rn = (10n − 1) / 9 の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、Rn素数となる。2進法におけるレピュニットはメルセンヌ数 (Mn = 2n − 1) である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質[編集]

mn を割り切るならば、RmRn を割り切る。よって、n合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき( n が 1 = 30 のときも含む)は全てハーシャッド数である。

知られているレピュニット素数[編集]

現在、Rnn = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。n = 49081, 86453 の場合も確率的素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表した[3]。また、同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[4]

Rn = (10n − 1) / 9
No. n 発見者
1 2 - -
2 19 - -
3 23 - -
4 317 1978 Williams
5 1031 1986 Williams, Dubner
6 49081 ? 1999 Dubner
7 86453 ? 2000 Baxter
8 109297 ? 2007 Dubner
9 270343 ? 2007 Voznyy

レピュニットの素因数分解[編集]

基数 10 のレピュニットの R1 から R120 までの素因数分解の一覧を示す[5]。背景が水色のセルは n が素数の場合の Rn を示す。

基数10 のレピュニットの R1 から R120 までの素因数分解の表
レピュニット 素因数分解 素因数の数(含重複)
R1 1 0
R2 11 (素数) 1
R3 3 · 37 2
R4 11 · 101 2
R5 41 · 271 2
R6 3 · 7 · 11 · 13 · 37 5
R7 239 · 4649 2
R8 11 · 73 · 101 · 137 4
R9 32 · 37 · 333667 4
R10 11 · 41 · 271 · 9091 4
R11 21649 · 513239 2
R12 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 7
R13 53 · 79 · 265371653 3
R14 11 · 239 · 4649 · 909091 4
R15 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 6
R16 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 6
R17 2071723 · 5363222357 2
R18 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 9
R19 1111111111111111111 (素数) 1
R20 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 7
R21 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 7
R22 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 7
R23 11111111111111111111111 (素数) 1
R24 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 10
R25 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 5
R26 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 6
R27 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 7
R28 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 8
R29 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 5
R30 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161 13
R31 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 3
R32 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353 11
R33 3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373 6
R34 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369 6
R35 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471 7
R36 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001 12
R37 2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013 3
R38 11 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 3
R39 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991 6
R40 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081 11
R41 83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361 4
R42 3 · 72 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689 15
R43 173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 4
R44 112 · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 11
R45 32 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721 10
R46 11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 6
R47 35121409 · 316362908763458525001406154038726382279 2
R48 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001 13
R49 239 · 4649 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 4
R50 11 · 41 · 251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201 10
R51 3 · 37 · 613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877 8
R52 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 9
R53 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071 4
R54 33 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631 14
R55 41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121 8
R56 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761 12
R57 3 · 37 · 21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 6
R58 11 · 59 · 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 8
R59 2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751 2
R60 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741 20
R61 733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479 7
R62 11 · 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091 5
R63 32 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281 14
R64 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561 15
R65 41 · 53 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481 7
R66 3 · 7 · 112 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373 15
R67 493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677 3
R68 11 · 101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829 10
R69 3 · 37 · 277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893 6
R70 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641 12
R71 241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839 2
R72 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769 18
R73 12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637 3
R74 11 · 7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013 7
R75 3 · 31 · 37 · 41 · 151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151 12
R76 11 · 101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461 6
R77 239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043 8
R78 3 · 7 · 11 · 132 · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991 15
R79 317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917 6
R80 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681 15
R81 34 · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117 13
R82 11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361 7
R83 3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477 3
R84 3 · 72 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849 21
R85 41 · 271 · 2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081 7
R86 11 · 173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241 8
R87 3 · 37 · 3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483 10
R88 112 · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953 15
R89 497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159 5
R90 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721 22
R91 53 · 79 · 239 · 547 · 4649 · 14197 · 17837 · 4262077 · 265371653 · 43442141653 · 316877365766624209 · 110742186470530054291318013 12
R92 11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901 10
R93 3 · 37 · 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991 6
R94 11 · 6299 · 35121409 · 4855067598095567 · 297262705009139006771611927 · 316362908763458525001406154038726382279 6
R95 41 · 191 · 271 · 59281 · 63841 · 1111111111111111111 · 1289981231950849543985493631 · 965194617121640791456070347951751 8
R96 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 97 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 9901 · 69857 · 206209 · 5882353 · 99990001 · 66554101249 · 75118313082913 · 9999999900000001 22
R97 12004721 · 846035731396919233767211537899097169 · 109399846855370537540339266842070119107662296580348039 3
R98 11 · 197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 · 5076141624365532994918781726395939035533 8
R99 32 · 37 · 67 · 199 · 397 · 21649 · 34849 · 333667 · 513239 · 1344628210313298373 · 362853724342990469324766235474268869786311886053883 12
R100 11 · 41 · 101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001 · 14103673319201 · 78875943472201 · 1680588011350901 17
R101 4531530181816613234555190841 · 129063282232848961951985354966759 · 18998088572819375252842078421374368604969 3
R102 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 103 · 613 · 4013 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 21993833369 · 291078844423 · 13168164561429877 · 377526955309799110357 16
R103 1031 · 7034077 · 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853 3
R104 11 · 53 · 73 · 79 · 101 · 137 · 521 · 859 · 1580801 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 · 632527440202150745090622412245443923049201 13
R105 3 · 31 · 37 · 41 · 43 · 71 · 239 · 271 · 1933 · 4649 · 123551 · 2906161 · 10838689 · 30703738801 · 625437743071 · 102598800232111471 · 57802050308786191965409441 17
R106 11 · 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 47198858799491425660200071 · 9090909090909090909090909090909090909090909090909091 6
R107 643 · 999809 · 9885089 · 215257037 · 2386760191 · 511399538427507881 · 646826950155548399 · 10288079467222538791302311556310051849 8
R108 33 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 999999000001 · 440334654777631 · 59779577156334533866654838281 20
R109 1192679 · 712767480971213008079 · 5295275348767234696493 · 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547 4
R110 112 · 23 · 41 · 271 · 331 · 1321 · 4093 · 5171 · 8779 · 9091 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 20163494891 · 318727841165674579776721 · 1300635692678058358830121 18
R111 3 · 372 · 2028119 · 247629013 · 30557051518647307 · 2212394296770203368013 · 8845981170865629119271997 · 90077814396055017938257237117 9
R112 11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401 · 127522001020150503761 · 119968369144846370226083377 17
R113 227 · 908191467191 · 5389571231221771906526710342668539729849­8705173449226555003346881878523705781079­015749721646701723 3
R114 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 21319 · 1458973 · 10749631 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 · 753201806271328462547977919407 12
R115 41 · 271 · 31511 · 19707665921 · 20414137203567631 · 11111111111111111111111 · 5799951513941382144830754391 · 122403569491783662720773144041 8
R116 11 · 59 · 101 · 349 · 3191 · 16763 · 38861 · 43037 · 62003 · 618049 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 · 1181180637520183640867963573625866958318­7541 13
R117 32 · 37 · 53 · 79 · 333667 · 265371653 · 240396841140769 · 537947698126879 · 3352825314499987 · 900900900900990990990991 · 2304017384484085131816292573 12
R118 11 · 1889 · 2559647034361 · 1090805842068098677837 · 4411922770996074109644535362851087 · 4340876285657460212144534289928559826755­746751 6
R119 239 · 4649 · 923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 3230129421485627516508145444373504546404­48842187 8
R120 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001 26

一般化[編集]

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してレピュニットは Rn(a) = (an − 1) / (a − 1) と定義される。

a = 2 ならば、これはメルセンヌ数に一致する。また、a が素数ならば、これは an − 1約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない(Bugeaud 1999b[6])。

Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。

脚注[編集]

[ヘルプ]

注釈[編集]

  1. ^ アルバート・ベイラーは以下のように記している:

    A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. [1]

出典[編集]

  1. ^ Beiler 2013, pp. 83
  2. ^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411--417.
  3. ^ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List
  4. ^ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List
  5. ^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2016年12月23日閲覧。
  6. ^ Yann Bugeaud, On the diophantine equation , Number Theory ( Turku, 1999), 19--24, de Gruyter, 2001.

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]