平衡素数

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平衡素数素数の一つ。ある素数が、その素数の1つ前の素数と1つ後の素数の算術平均に等しい物をいう。代数の方法で、ある素数をp_nと置くと、nは、連続する3つの素数の指数となる。

p_n = {{p_{n - 1} + p_{n + 1}} \over 2}

平衡素数を小さい順からいくつか列挙すると、

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 オンライン整数列大辞典の数列 A006562.

例えば、53は16番目の素数である。15番目と17番目の素数が、それぞれ4759なので、両者を足す106になり、その半分の数は53である。よって53は平衡素数となる。

1が素数であると見なした時、2も同様に最初の平衡素数となったであろう。

2 = {1 + 3 \over 2}

平衡素数は無限に多く存在すると、推測されている。

等差数列素数英語版で3つ連続して並ぶ数は、CPAP-3としばしば呼ばれている。平衡素数は、CPAP-3の中で2番目の素数であると定義される。2009年現在、CPAP-3として知られている最も大きな数はDavid BroadhurstとFrançois Morainによって、7,535桁の物であると証明されている[1]

p_n = 197418203 \times 2^{25000} - 1,\quad  p_{n-1} = p_n-6090,\quad  p_{n+1} = p_n+6090

尚、nがどんな値であるかは、未だ知られていない。

参考[編集]

ある素数が、その素数の1つ前の素数と1つ後の素数の算術平均よりも大きい場合、強素数英語版と呼ばれる。逆に小さい場合は、弱素数と呼ばれる。

n個から成る平衡素数[編集]

n個から成る平衡素数は、nに最も近い大小の隣り合った素数の算術平均がnと等しい素数をいう。代数的に、素数p_kと置くと、kは一連の素数の集合の指数となる。

p_k = { \sum_{i=1}^n ({p_{k - i} + p_{k + i})} \over 2n}

自明であるが、平衡素数は前後1個を含んだ素数の平均(即ち、3つの素数の平均)と等しい素数である。以下同様に、

と小さい順に列挙される。

脚注[編集]