ワグスタッフ素数

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ワグスタッフ素数数論において、ある素数pが以下の数式で表される素数である。その数式は、

p={{2^q+1}\over 3} であり、qは他の素数(同じでも可)である。 

ワグスタッフ素数は、数学者サミュエル S.ワグスタッフ・ジュニア英語版にあやかって名付けられた。『The prime pages英語版』では、フランソワ・モレインドイツ語版1990年ヨーロッパ暗号学会英語版学会における講義の中で、これらの素数を名付けた事に言及している。ワグスタッフ素数は、メルセンヌの新仮説英語版と関連しており、暗号理論への応用となる要素を持っている。

主な素数[編集]

ワグスタッフ素数は、小さい順に3, 11, 43であり、以下の式で表される。


\begin{align}
3 & = {2^3+1 \over 3}, \\[5pt]
11 & = {2^5+1 \over 3}, \\[5pt]
43 & = {2^7+1 \over 3}.
\end{align}

有名なワグスタッフ素数[編集]

ワグスタッフ素数を小さい順から列挙していくと、以下の素数が該当する。

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, … オンライン整数列大辞典の数列 A000979

また、ワグスタッフ素数か素数の可能性が高い数英語版になる指数qを、小さい順に並べると以下のようになる。

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, … オンライン整数列大辞典の数列 A000978

2013年現在、ワグスタッフ素数(の可能性が高い数)として知られている数の中で、最大の物は、

\frac{2^{4031399}+1}3 であり、

2010年2月トニー・ライクス英語版が発見した[1]。1,213,572の数であり、2010年2月までに発見されたPRP英語版の中で、3番目に大きい数でもあった(メガ素数#メガ素数及びメガ素数の可能性がある数の一覧も参照)。

素数性の検定[編集]

これらの素数は、qが42737以下の時には存在する事が証明されている。つまり、2010年2月現在ではq > 42737の時には、PRPである。q = 42737の時に素数になる事の証明は、2007年にフランソワ・モレインが、Opteronプロセッサを何日もわたって、743ヘルツコンピュータネットワークワークステーションを稼働させて、ECPP 英語版の実用化を分担する事により実行された[2]。2010年にはECPPにより、4番に大きい素数性の検定がなされた[3]

2013年現在、ワグスタッフ素数の素数性を証明する最も実行速度の速いアルゴリズムとして、ECPPが知られている。

脚注[編集]

外部リンク[編集]