ソフィー・ジェルマン素数

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ソフィー・ジェルマン素数(ソフィー・ジェルマンそすう、Sophie Germain prime)はフランス数学者ソフィー・ジェルマンにちなんで名付けられた素数で、2p + 1 もまた素数であるような素数 p のことである。それに対し、2p + 1 のほうを安全素数 (safe prime) と呼ぶ。例えば 11 と 2 × 11 + 1 = 23 はともに素数であるので 11 はソフィー・ジェルマン素数、23 は安全素数である。ソフィー・ジェルマン素数が無数に存在するかどうかは分かっていない。最も小さいものは 2 である。

ソフィー・ジェルマン素数を 2 から小さい順に列記すると

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, …(オンライン整数列大辞典の数列 A05384

2 と 3 を除くソフィー・ジェルマン素数は 6n - 1 の形の素数である。また 2 と 5 を除くソフィー・ジェルマン素数の一の位は 1, 3, 9 のいずれかである。

2016年現在知られているものの中で最大のソフィー・ジェルマン素数は 2618163402417 × 21290000 − 1 であり、388342 桁の数である。

ソフィー・ジェルマン素数 pp ≡ 3 (mod 4) を満たすとき 2p + 1 はメルセンヌ数 2p - 1 の約数となる。

ソフィー・ジェルマン素数かつ安全素数である素数は

5, 11, 23, 83, 179, 359, 719, 1019, 1439, 2039, 2063, 2459, 2819, 2903, 2963,…(オンライン整数列大辞典の数列 A59455

4倍ソフィー・ジェルマン素数[編集]

  • 4倍ソフィー・ジェルマン素数(4ばいソフィー・ジェルマンそすう)とは、ソフィー・ジェルマン素数と同様、2倍して1足したものも素数になるものと同じように、4倍しても素数になるような素数である。但し、4倍の時は 3 を足す。(例: 19の場合は 19 × 4 = 76 + 3 = 79)であり、79も素数である。4倍ソフィー・ジェルマン素数が無数に存在するかは分かっておらず、4倍して3足した数も素数になる素数は
2, 5, 7, 11, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 59, 67, 89, 107, 109, 149, 151, 157, 179, 181, 227,…(オンライン整数列大辞典の数列 A23213

となる。

関連項目[編集]

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