メガ素数

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メガ素数英語: megaprime)は、100万以上の素数[1]である。

メガ素数の年次毎の発見数

2023年12月 (2023-12)現在、2414 個のメガ素数[2]と 126 個の確率的メガ素数[3]が知られている。最初に発見されたメガ素数は、メルセンヌ素数の26972593−1(2,098,960桁)で、1999年6月1日にNayan Hajratwalaが分散コンピューティング・プロジェクト、GIMPSを使用した物であった[4][5]

10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。

種類別のリスト[編集]

以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。

  • 「Prime/PRP」欄は、素数であると証明されたものを "Prime"、底ごとのフェルマーテストなど、いくつかのテストをクリアした確率的素数を "PRP" で表している。

メルセンヌ素数[編集]

2022年4月現在で51個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の14個がメガ素数である[6]。知られている最大の素数はほとんどの期間でメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の素数判定N + 1 あるいは N - 1素因数分解に基づいており、メルセンヌ数の場合は N + 1 の素因数分解がほとんど自明であったためである[7]

発見された数 Prime/PRP 発見された日付 桁数 出典
282589933-1 Prime 2018年12月7日 24,862,048 [GIMPS 1]
277232917-1 Prime 2017年12月26日 23,249,425 [GIMPS 2]
274207281-1 Prime 2016年1月7日 22,338,618 [GIMPS 3]
257885161-1 Prime 2013年1月25日 17,425,170 [GIMPS 4]
243112609-1 Prime 2008年8月23日 12,978,189 [GIMPS 5]
242643801-1 Prime 2009年1月4日 12,837,064 [GIMPS 6]
237156667-1 Prime 2008年9月6日 11,185,272 [GIMPS 5]
232582657-1 Prime 2006年9月4日 9,808,358 [GIMPS 7]
230402457-1 Prime 2005年12月15日 9,152,052 [GIMPS 8]
225964951-1 Prime 2005年2月18日 7,816,230 [GIMPS 9]
224036583-1 Prime 2004年5月15日 7,235,733 [GIMPS 10]
220996011-1 Prime 2003年11月17日 6,320,430 [GIMPS 11]
213466917-1 Prime 2001年11月14日 4,053,946 [GIMPS 12]
26972593-1 Prime 1999年1月1日 2,098,960 [GIMPS 13]

プロス数[編集]

正の奇数 k2n > k を満たす n に対して、N = k·2n + 1 で表される数をプロス数 (: Proth number) と言う。

プロス素数の探索プロジェクトとしてProth Prime Searchがある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある:

発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典 備考
10223·231172165+1 Prime 2016年10月31日 9,383,761 [PrimeGrid 1]
202705·221320516+1 Prime 2021年11月25日 6,418,121 [PrimeGrid 2]
81·220498148+1 Prime 2023年6月13日 6,170,560 [Primes 1]
7·220267500+1 Prime 2022年7月21日 6,101,127 [Primes 2]
168451·219375200+1 Prime 2017年9月17日 5,832,522 [PrimeGrid 3]
69·219374980+1 Prime 2022年7月3日 5,832,452 [Primes 3]
7·218233956+1 Prime 2020年10月1日 5,488,969 [Primes 4] F18233954 の素因数
3·216408818+1 Prime 2020年10月25日 4,939,547 [PrimeGrid 4] 第2種サービト数
99739·214019102+1 Prime 2019年12月24日 4,220,176 [PrimeGrid 5]
19249·213018586+1 Prime 2007年3月26日[9] 3,918,990 [Primes 5]
193997·211452891+1 Prime 2018年4月3日 3,447,670 [PrimeGrid 6]
3·210829346+1 Prime 2014年1月14日 3,259,959 [PrimeGrid 7] 第2種サービト数
121·29584444+1 Prime 2020年11月18日 2,885,208 [PrimeGrid 8]
27653 · 29167433+1 Prime 2005年6月8日[9] 2,759,677 [Primes 6]
27·28342438+1 Prime 2021年2月1日 2,511,326 [PrimeGrid 9]
27·27963247+1 Prime 2021年1月14日 2,397,178 [PrimeGrid 10] F7963245 の素因数
28433 · 27830457+1 Prime 2004年12月30日[9] 2,357,207 [Primes 7]
161041·27107964+1 Prime 2015年1月6日 2,139,716 [PrimeGrid 11]
27·27046834+1 Prime 2018年10月11日 2,121,310 [PrimeGrid 12]
3·27033641+1 Prime 2011年2月21日 2,117,338 [PrimeGrid 13] 第2種サービト数
6679881·26679881+1 Prime 2009年7月25日 2,010,852 [PrimeGrid 14] カレン数
1582137·26328550+1 Prime 2009年4月20日 1,905,090 [PrimeGrid 15] カレン数
13·25523860+1 Prime 2020年1月22日 1,662,849 [PrimeGrid 16] F5523858 の素因数
27·25213635+1 Prime 2015年3月9日 1,569,462 [PrimeGrid 17]
3·25082306+1 Prime 2009年4月3日 1,529,928 [PrimeGrid 18] 第2種サービト数
121·24553899+1 Prime 2012年2月25日 1,370,863 [PrimeGrid 19]
193·23329782+1 Prime 2014年7月25日 1,002,367 [PrimeGrid 20] F3329780 の素因数

サービト数[編集]

自然数 n に対して 3·2n - 1 の形で表される数を、イスラムの数学者サービト・イブン・クッラの名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、321 Prime Searchが存在する。

発見された数 Prime/PRP 発見された日付 桁数 出典
3·220928756-1 Prime 2023年7月5日 6,300,184 [PrimeGrid 21]
3·218924988-1 Prime 2022年3月24日 5,696,990 [PrimeGrid 22]
3·218196595-1 Prime 2022年1月8日 5,477,722 [PrimeGrid 23]
3·217748034-1 Prime 2021年9月6日 5,342,692 [PrimeGrid 24]
3·216819291-1 Prime 2021年1月20日 5,063,112 [PrimeGrid 25]
3·211895718-1 Prime 2015年6月23日 3,580,969 [PrimeGrid 26]
3·211731850-1 Prime 2015年3月13日 3,531,640 [PrimeGrid 27]
3·211484018-1 Prime 2014年11月22日 3,457,035 [PrimeGrid 28]

一般化フェルマー数[編集]

3以上の整数 b に対して、GFb, n = b2n + 1 で表される数を、b を底とする一般化フェルマー数と言う。

PrimeGridGeneralized Fermat Prime Searchは、一般化フェルマー数のうち n ≧ 15 の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2022年4月現在、Generalized Fermat Prime Searchは387個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している[注 2]

知られている一般化フェルマー素数 (抜粋)
発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典
19637361048576+1 Prime 2022年9月24日 6,598,776 [Primes 8]
19517341048576+1 Prime 2022年8月9日 6,595,985 [PrimeGrid 29]
10590941048576+1 Prime 2018年10月31日 6,317,602 [PrimeGrid 30]
9194441048576+1 Prime 2017年8月29日 6,253,210 [PrimeGrid 31]
4896418524288+1 Prime 2022年5月18日 3,507,424 [PrimeGrid 32]
3638450524288+1 Prime 2020年5月29日 3,439,810 [PrimeGrid 33]
9·211366286+1 Prime 2020年3月26日 3,421,594 [Primes 9]
3214654524288+1 Prime 2019年12月24日 3,411,613 [PrimeGrid 34]
2985036524288+1 Prime 2019年9月18日 3,394,739 [PrimeGrid 35]
2877652524288+1 Prime 2019年1月29日 3,386,397 [PrimeGrid 36]
2788032524288+1 Prime 2019年4月17日 3,379,193 [PrimeGrid 37]
2733014524288+1 Prime 2019年3月18日 3,374,655 [PrimeGrid 38]
2312092524288+1 Prime 2018年8月4日 3,336,572 [PrimeGrid 39]
2061748524288+1 Prime 2018年3月20日 3,310,478 [PrimeGrid 40]
1880370524288+1 Prime 2018年1月15日 3,289,511 [PrimeGrid 41]
知られている一般化フェルマー数の素因数 (抜粋)
発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典 備考
3·216408818+1 Prime 2020年10月25日 4,939,547 [PrimeGrid 4] 第2種サービト数
9·213334487+1 Prime 2020年3月21日 4,014,082 [Primes 10]
9·212406887+1 Prime 2020年3月29日 3,734,847 [Primes 11]
9·211500843+1 Prime 2020年3月13日 3,462,100 [Primes 12]
9·211158963+1 Prime 2020年3月13日 3,359,184 [Primes 13]
3·210829346+1 Prime 2014年1月14日 3,259,959 [PrimeGrid 7] 第2種サービト数
11·29381365+1 Prime 2020年3月7日 2,824,074 [Primes 14]
17·28636199+1 Prime 2021年2月17日 2,599,757 [PrimeGrid 42]
25·28456828+1 Prime 2021年1月27日 2,545,761 [PrimeGrid 43] 一般化フェルマー数

一般化カレン数[編集]

整数 bn+2 > b を満たす n について、n·bn + 1 の形で表される数を一般化カレン数という[14]

発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典
2525532·732525532+1 Prime 2021年8月28日 4,705,888 [PrimeGrid 44]
404849·213764867+1 Prime 2021年3月10日 4,143,644 [Primes 15]
2805222·55610444+1 Prime 2019年9月2日 3,921,539 [PrimeGrid 45]
1806676·411806676+1 Prime 2018年3月11日 2,913,785 [PrimeGrid 46]
1323365·1161323365+1 Prime 2018年1月18日 2,732,038 [PrimeGrid 47]
1341174·531341174+1 Prime 2017年8月21日 2,312,561 [PrimeGrid 48]
682156·79682156+1 Prime 2016年10月8日 1,294,484 [PrimeGrid 49]
298989·23886857+1 Prime 2014年12月31日 1,170,067 [Primes 16]

(一般化)ウッダル数[編集]

自然数 n に対して n·2n - 1 の形で表される数をウッダル数という。一般化カレン数と同様に、整数 bn+2 > b を満たす n について、n·bn - 1 の形で表される数を一般化ウッダル数という[15]

発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典
8508301·217016603-1 Prime 2018年3月22日 5,122,515 [Primes 17]
396101·214259638-1 Prime 2024年2月3日 4,292,585 [Primes 18]
2740879·213704395-1 Prime 2019年10月26日 4,125,441 [Primes 19]
479216·38625889-1 Prime 2019年11月16日 4,115,601 [Primes 20]
874208·541748416-1 Prime 2019年9月26日 3,028,951 [Primes 21]
101806·151527091-1 Prime 2023年4月14日 1,796,004 [Primes 22]
499238·101497714-1 Prime 2019年9月16日 1,497,720 [Primes 23]
583854·141167708-1 Prime 2019年9月17日 1,338,349 [Primes 24]
1993191·23986382-1 Prime 2015年5月1日 1,200,027 [Primes 25]
938237·23752950-1 Prime 2007年12月26日 1,129,757 [Primes 26]

ワグスタッフ素数[編集]

素数 p に対して、の形で表される素数をワグスタッフ素数という。2022年4月現在で、ワグスタッフ素数の形である確率的素数は14個報告されており、うち4つが100万桁以上の確率的メガ素数である[16][注 3]

発見された数 Prime/PRP 報告された日付 桁数 出典
(215135397+1)/3 PRP 2021年6月28日[18] 4,556,209 [16]
(213372531+1)/3 PRP 2013年9月8日[19] 4,025,533 [16]
(213347311+1)/3 PRP 2013年9月8日[19] 4,017,941 [16]
(24031399+1)/3 PRP 2010年2月20日[20] 1,213,572 [16]

(一般化)unique素数[編集]

2および5でない素数 p について、p逆数循環節の長さが他のものと一致しないとき、punique prime (あるいは unique period prime, 英語版) という[21]。例えば3, 11, 37, 101がそのような素数の例である。また、一般の基数 b に対して、同様の条件を満たす素数 pgeneralized unique prime という。

より明示的な定義は、円分多項式 Φn(x) に対して

が素数の冪で表されるとき、その素因数は基数 b の generalized unique prime であるという[22]

発見された数 Prime/PRP 報告された日付 桁数 出典
Φ3(-123447219) Prime 2017年2月23日 5,338,805 [Primes 27]
215317227+27658614+1 Prime 2020年7月31日 4,610,945 [Primes 28]
Φ3(-143332393216) Prime 2017年1月30日 4,055,114 [Primes 29]
Φ3(-844833262144) Prime 2017年1月17日 3,107,335 [Primes 30]
Φ3(-712012262144) Prime 2017年1月14日 3,068,389 [Primes 31]
Φ3(-558640196608) Prime 2017年1月11日 2,259,865 [Primes 32]
Φ3(-237804196608) Prime 2017年1月6日 2,114,016 [Primes 33]

その他[編集]

発見された数 Prime/PRP 報告された日付 桁数 出典 備考
R8177207 PRP 2021年4月20日[23] 8,177,207 [24] レピュニット
R5794777 PRP 2021年4月20日[23] 5,794,777 [24] レピュニット
69·218831865-1 Prime 2021年12月26日 5,668,959 [Primes 34]
3622·57558139-1 Prime 2022年2月18日 5,282,917 [Primes 35]
7·66772401+1 Prime 2019年9月9日 5,269,954 [Primes 36]
69·215866556-1 Prime 2021年8月20日 4,776,312 [Primes 37]
6·56546983-1 Prime 2020年6月13日 4,576,146 [Primes 38]
69·214977631-1 Prime 2021年12月3日 4,508,719 [Primes 39]
192971·214773948-1 Prime 2021年3月7日 4,447,272 [Primes 40]
69·213832885-1 Prime 2022年1月7日 4,164,116 [Primes 41]
213380298-27 PRP 2021年3月2日[25] 4,027,872 [3]
9221·211392194-1 Prime 2021年2月7日 3,429,397 [PrimeGrid 50]
146561·211280802-1 Prime 2020年11月16日 3,395,865 [PrimeGrid 51]
(210443557-1)/37289325994807 PRP 2020年7月9日 3,143,811 [26][GIMPS 14] M10443557 の約数
273809·28932416-1 Prime 2017年12月13日 2,688,931 [PrimeGrid 52]
(27313983-1)/305492080276193 PRP 2018年3月1日 2,201,714 [26][27] M7313983 の約数
422429!+1 Prime 2022年2月21日 2,193,027 [Primes 42] 階乗素数
502573·27181987-1 Prime 2014年10月4日 2,162,000 [PrimeGrid 53]
402539·27173024-1 Prime 2014年10月2日 2,159,301 [PrimeGrid 54]
(27080247-1)/156822217506727
/11283326312536321/9632940548330339593
PRP 2017年10月27日 2,131,318 [26][28] M7080247 の約数
40597·26808509-1 Prime 2013年12月25日 2,049,571 [PrimeGrid 55]
101888529-10944264-1 Prime 2021年10月18日 1,888,529 [Primes 43] 回文素数
(25240707-1)/75392810903 PRP 2017年10月29日 1,577,600 [26][29] M5240707 の約数
308084!+1 Prime 2022年1月20日 1,557,176 [Primes 44] 階乗素数
(24834891-1)/1701881633/70659688575577 PRP 2017年9月20日 1,455,425 [26][30] M4834891 の約数
288465!+1 Prime 2022年1月10日 1,449,771 [Primes 45] 階乗素数
F6530879 PRP 2022年8月 1,364,873 [31] フィボナッチ数
(24187251-1)/72234342371519 PRP 2017年10月31日 1,260,475 [26][32] M4187251 の約数
101234567-20342924302·10617278-1 Prime 2021年9月15日 1,234,567 [Primes 46] 回文素数
101234567-3626840486263·10617277-1 Prime 2021年9月29日 1,234,567 [Primes 47] 回文素数
101234567-4708229228074·10617277-1 Prime 2021年9月29日 1,234,567 [Primes 48] 回文素数
L5466311 PRP 2022年8月 1,142,392 [33] リュカ数
(23464473-1)/604874508299177 PRP 2017年10月31日 1,042,896 [26][34] M3464473 の約数
208003!-1 Prime 2016年7月25日 1,015,843 [Primes 49] 階乗素数
L4819961 PRP 2022年7月 1,007,313 [33] リュカ数
10999999+593499 PRP 2013年1月 1,000,000 [35] 最小の確率的メガ素数

注釈[編集]

  1. ^ プロス数でないフェルマー数の素因数は、例えば 6700417 (F5 の約数) や 274177 (F6 の約数) が挙げられる[8]
  2. ^ 指数が131072 (217) であるものが320個[10]、262144 (218) であるものが52個[11]、524288 (219) であるものが13個[12]、1048576 (220) であるものが2個[13]存在する。
  3. ^ 2022年4月現在で知られている最大のワグスタッフ素数は28709桁の (295369+1)/3 である[17]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

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