ハーシャッド数

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ハーシャッド数(ハーシャッドすう、: harshad number)とは、各位の和(数字和)が元の数の約数であるような自然数である。

例えば、195 は各位の和が 1 + 9 + 5 = 15 であり、15 は 195 の約数であるので 195 はハーシャッド数である。

ハーシャッド数はインド数学者 D. R. Kaprekar によって定義され、サンスクリット語harṣa (喜び)と da (与える)が語源である。イヴァン・ニーベンの名を冠し、ニーベン数(Niven number)とも呼ばれる。

ハーシャッド数は無数に存在し、そのうち最小の数は 1 である。十進法でのハーシャッド数を 1 から小さい順に列記すると

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, …(オンライン整数列大辞典の数列 A005349

定義[編集]

自然数 Xn 進法で m 桁の数とする。右端から i 桁目の数字を ai (i = 0, 1, …, m - 1) とすると、

である。

を満たす自然数 A が存在するとき、Xn 進法でのハーシャッド数である。

性質[編集]

n 進法の場合、1 から n までの数および nk(k は自然数)[1]は必ずハーシャッド数である。特に 1, 2, 4, 6 の 4 数だけは何進法においてもハーシャッド数となる。

ハーシャッド数は 1 桁の素数と 10 自体が素数である場合を除いて全て合成数である。

H. G. Grundman1994年に、十進法では 21 個以上の連続する自然数が全てハーシャッド数になるような組はないことを証明した。また彼は 20 個の連続する自然数が全てハーシャッド数になる最小の組を見つけ、それらは 1044363342786 を超える数である。二進法では 4 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組は無数に存在し、三進法では 6 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組が無数に存在する。これらの事実は T. Cai によって1996年に証明された。一般的にそれらの数の組は n 進法で N×nk-n から N×nk+(n-1) までの連続する 2n 個の数である。ここで N はある定数で k は比較的大きな数である。

数の間に 0 が連続して続く数を使って無数にハーシャッド数を作ることができる。例えば 21 を使うと、21, 201, 2001, 20001 などは全てハーシャッド数になる。

自然数 x 以下のハーシャッド数の個数を N(x) とおくと、どんな正の数 ε に対しても以下の式が成り立つ。

これは Jean-Marie De Koninck と Nicolas Doyon によって証明された。De Koninck、Doyon、Kátai はまた

を証明した。ただし c = (14/27)log10 = 1.1939… である。

各位の和が1, 3, 9の数はすべてハーシャッド数である。特に10の累乗数はすべてハーシャッド数である。

一覧[編集]

ハーシャッド数(十進数)
基数 10000までの個数 具体例 詳細 (オンライン整数列大辞典)
1
5
1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, … A011557
2
7
2, 20, 110, 200, 1010, 1100, 2000, 10010, 10100, 11000, … A069537
3
20
3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, … A052217
4
12
4, 40, 112, 220, 400, 1012, 1120, 1300, 2020, 2200, … A063997
5
22
5, 50, 140, 230, 320, 410, 500, 1040, 1130, 1220,… A069540
6
50
6, 24, 42, 60, 114, 132, 150, 204, 222, 240,… A062768
7
18
7, 70, 133, 322, 511, 700, 1015, 1141, 1204, 1330,… A063416
8
25
8, 80, 152, 224, 440, 512, 800, 1016, 1160, 1232,… A069543
9
220
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, … A052223
10
63
190, 280, 370, 460, 550, 640, 730, 820, 910, 1090,… A218292
11
16
209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902, 2090, 3080,…
12
113
48, 84, 156, 192, 228, 264, 336, 372, 408, 444,…
13
36
247, 364, 481, 715, 832, 1066, 1183, 1417, 1534, 1651,…
14
41
266, 392, 518, 644, 770, 1148, 1274, 1526, 1652, 1904,…
15
136
195, 285, 375, 465, 555, 645, 690, 735, 780, 825,…
16
41
448, 592, 736, 880, 1168, 1456, 1744, 2176, 2464, 2608,…
17
41
476, 629, 782, 935, 1088, 1394, 1547, 1853, 2159, 2465,…
18
335
198, 288, 378, 396, 468, 486, 558, 576, 594, 648, 666, 684, 738, …
19
33
874, 1387, 1558, 1729, 2584, 2755, 2926, 3097, 3268, 3439,…
20
16
3980, 4880, 5780, 5960, 6680, 6860, 7580, 7760, 7940, 8480,…
21
85
399, 588, 777, 966, 1596, 1659, 1785, 1848, 1974, 2289,…
22
32
2398, 2596, 2794, 2992, 3388, 3586, 3784, 3982, 4378, 4576,…
23
20
1679, 1886, 3749, 3956, 4577, 4784, 4991, 5198, 5819, 6647,…
24
48
888, 1896, 1968, 2688, 2976, 3696, 3768, 3984, 4488, 4776,…
25
7
4975, 5875, 6775, 7675, 8575, 9475, 9925, 13975, 14875, 15775,…
26
9
1898, 5876, 6578, 7748, 7982, 8684, 8918, 9386, 9854, 12896,…
27
76
999, 1998, 2889, 2997, 3699, 3888, 3969, 3996, 4698, 4779,…
28
4
7588, 8596, 8848, 9856, 13888, 14896, 17668, 18676, 18928, 19684,…
29
5
4988, 7598, 7859, 9686, 9947, 15689, 16994, 17777, 18299, 19865,…
30
0
39990, 48990, 49890, 49980, 57990, 58890, 58980, 59790, 59880, 59970,…
31
2
8959, 9796, 17887, 25699, 25978, 28489, 28768, 29884, 36859, 37696,…
32
0
17888, 27968, 29696, 29984, 36896, 39488, 39776, 46688, 46976, 48992,…
33
42999, 43989, 44979, 45969, 47949, 48939, 49929, 52899, 52998, 53889,…
34
28798, 37978, 38896, 48688, 48994, 57868, 58786, 59398, 63988, 67966,…
35
57995, 59885, 69965, 76895, 78785, 86975, 88865, 89495, 95795, 97685,…
36
29988, 38988, 39888, 47988, 48888, 48996, 49788, 49896, 49968, 56988,…
37
37999, 38998, 39997, 47989, 48988, 49987, 57979, 58978, 59977, 67969,…
38
59888, 76988, 78698, 88958, 89984, 95798, 98876, 129998, 179588, 187796,…
39
49998, 67899, 69888, 78897, 79599, 87789, 88959, 89778, 89895, 95979,…
40
699880, 789880, 798880, 879880, 888880, 897880, 898960, 899680,…
41
177899, 188969, 288599, 288968, 295979, 299669, 369779, 377897,…
42
88998, 189798, 197988, 198996, 199878, 298788, 299796, 369978,…
43
99889, 179998, 188899, 299968, 388978, 397879, 477988, 486889,…
44
479996, 489896, 499796, 578996, 579788, 588896, 589688, 598796,…
45
499995, 589995, 598995, 599895, 599985, 679995, 688995, 689895,…
  • 各基数における最小のハーシャッド数は A002998、2番目は A245065 を参照。
  • 各基数 n における n 番目のハーシャッド数は A082260 を参照。

各種数列[編集]

1, 2, 3, 5, 8, 21, 144, 2584, …(オンライン整数列大辞典の数列 A117774
  • ハーシャッド数が三角数である数は
1, 3, 6, 10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, …(オンライン整数列大辞典の数列 A076713
  • ハーシャッド数が平方数である数は
1, 4, 9, 36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, 900, 1296, 1521, …(オンライン整数列大辞典の数列 A118547
  • ハーシャッド数が楔数である数は
30, 42, 70, 102, 110, 114, 190, 195, 230, 266, 285, 322, 370, 399, 402, …
  • ハーシャッド数が五角数である数は
1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, 782, 1080,…(オンライン整数列大辞典の数列 A242043
  • ハーシャッド数が立方数である数は
1, 8, 27, 216, 512, 1000, 1728, 4913, 5832, 8000, 13824, …(オンライン整数列大辞典の数列 A118720
  • 立方数になるハーシャッド数のうち、各位の和の基数と n3n が等しい数は
1, 512, 4913, 5832, 17576, 19683オンライン整数列大辞典の数列 A061209
  • ハーシャッド数が回文数である数は
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 111, 171, 222, 252, 333, 414, 444, 555, …(オンライン整数列大辞典の数列 A082232
  • ハーシャッド数が半素数である数は
4, 6, 9, 10, 21, 111, 133, 201, 209, 247, 407, …(オンライン整数列大辞典の数列 A118693
  • ハーシャッド数のうち、(元の数) ÷ (各位の和)で求められた商がまたハーシャッド数になり、最後には1となる数がある。その数は
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 36, 42, 45, 48, 54, 63, 72, 81, 84, 108, 162, 216, 243, 324, 378, 405, …(オンライン整数列大辞典の数列 A114440
(例:216 ÷ (2+1+6) = 24 → 24 ÷ (2+4) = 4 → 4 ÷ 4 = 1)
  • ハーシャッド数で各位の総乗で割り切れる数は
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 24, 36, 111, 112, 132, 135, 144, 216, 224, 312, 315, 432, 612, 624, 735, 1116, …(オンライン整数列大辞典の数列 A038186
(例:216 ÷ (2+1+6) = 24、216 ÷ (2×1×6) = 18)
  • 階乗数のうちハーシャッド数でない最小の数は 432! である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 最上桁の 1 ひとつと 0 のみで構成されている nk は必ず各位の和が 1 となる。

参考文献[編集]

外部リンク[編集]