不足数

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不足数(ふそくすう、: deficient number)は、自然数のうち、その正の約数総和が元の数の2倍より小さい数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く正の約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。例えば15の約数の総和は 1+3+5+15=24<15×2 であるので15は不足数である。もしくは「15の自身を除く約数の総和は 1+3+5=9<15 であるので15は不足数」と考えてもよい。約数関数("σ(n)"と表記)では σ(n)<2n を満たすnが不足数である。 不足数は無数に存在し、そのうち最小のものは1である。

不足数を1から小さい順に列記すると

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, …

全ての素数pは約数の和が σ(p)=1+p<2p である不足数である。また素数 p≧5 を2倍した偶数2pの約数の和は σ(2p)=1+2+p+2p<2×2p となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。

σ(n)=2n-1 を満たすnは不足数であり、概完全数とよばれる。概完全数は無数にありそのうち最も小さいものは1であるが、2の累乗数 2k の形をした数しか見つかっておらず他の形をした概完全数があるのかどうかは分かっていない。

関連項目[編集]

  • 完全数-その数自身を除く約数の総和が元の数に等しい数
  • 過剰数-その数自身を除く約数の総和が元の数より大きい数