累乗数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

累乗数 (るいじょうすう、: perfect power)とは、他の自然数累乗になっている自然数、 すなわち、mkm, k は自然数でk ≧ 2)の形の数を指す。

累乗数は小さいほうから順に 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, ...となる。(オンライン整数列大辞典の数列 A001597)

累乗数の性質[編集]

4を法として2と合同ではない数は2つの累乗数の差として表される。実際、(n+1)2-n2=2n+1, (n+2)2-n2=4n+4が成立する。

また、2=33-52, 10=133-37など、4 を法として 2 と合同な数に関しても累乗数の差として表せる場合があることが知られている。6, 14, 34 などがそのように表せるかどうかは知られていない。

差が1となる累乗数の組は (8, 9) のみであると、1844年にカタラン(Eugène Charles Catalan)によって予想されたが、2002年プレダ・ミハイレスクによって証明されたとしている。

一般に、累乗数を小さいほうからa1=1, a2=4, ...と並べるとき、ai+1-aii と共に無限大に発散すると予想されている(Pillai)。この予想は、任意の自然数aに対して方程式 xn-ym=a は有限個の自然数解(x>0, y>0, m≥ 2, n≥ 2)しかないことと同値である。Chudnovskyはこれを証明したと主張したが、本当に証明されたのかは不明である。エルデシュai+1-ai> icとなる正の定数cが存在すると予想している。

方程式 xn-ym=a(aは与えられた自然数, x >0, y >0, m≥ 2, n≥ 2)は a のほかにもう一つの変数を固定すれば、有限個の解しか存在しないことが知られている。m, n のいずれかを固定した場合には、SchinzelとTijdemanの一般的な不定方程式 ym=P(x) に関する結果から従い、x, y のいずれかを固定した場合には一般の線形循環数列に関するShoreyとTijdemanの結果から従う。

3, 7, 8, 15…など、(1を除く)累乗数から1を引いた数の逆和は、1になる。 すなわち,

これは、ゴールドバッハの定理と呼ばれている。

累乗数に関する性質[編集]

ある数 m を2乗した数の各位の和を求め、それをさらに1桁になるまで繰り返すと結果は「1,4,7,9」の4通りにしかならない。(例.642=4096 → 4+0+9+6=19→ 1+9=10→ 1+0=1)

ある数 mn 乗した数の各位の和が元の数 m に等しい数が存在する。(例.74=2401 → 2+4+0+1=7)

n オンライン数列
2
1, 9
3
1, 8, 17, 18, 26, 27 オンライン整数列大辞典の数列 A046459
4
1, 7, 22, 25, 28, 36 オンライン整数列大辞典の数列 A055575
5
1, 28, 35, 36, 46 オンライン整数列大辞典の数列 A055576
6
1, 18, 45, 54, 64 オンライン整数列大辞典の数列 A055577
7
1, 18, 27, 31, 34, 43, 53, 58, 68 オンライン整数列大辞典の数列 A226971
8
1, 46, 54, 63
9
1, 54, 71, 81
10 1, 82, 85, 94, 97, 106, 117
11 1, 98, 107, 108
12 1, 108
13 1, 20, 40, 86, 103, 104, 106, 107, 126, 134, 135, 146
14 1, 91, 118, 127, 135, 154
15 1, 107, 134, 136, 152, 154, 172, 199
16 1, 133, 142, 163, 169, 181, 187
17 1, 80, 143, 171, 216
18 1, 172, 181
19 1, 80, 90, 155, 157, 171, 173, 181, 189, 207
20 1, 90, 181, 207

累乗和[編集]

  • 自然数の累乗和
m オンライン数列
1
三角数を参照
2
平方和を参照
3
立方和を参照
4
1, 17, 98, 354, 979, 2275, 4676, 8772, 15333,… オンライン整数列大辞典の数列 A000538
5
1, 33, 276, 1300, 4425, 12201, 29008, 61776,… オンライン整数列大辞典の数列 A000539
6
1, 65, 794, 4890, 20515, 67171, 184820, 446964,… オンライン整数列大辞典の数列 A000540
7
1, 129, 2316, 18700, 96825, 376761, 1200304, 3297456,… オンライン整数列大辞典の数列 A000541
8
1, 257, 6818, 72354, 462979, 2142595, 7907396, 24684612,… オンライン整数列大辞典の数列 A000542
オンライン数列
1n + 2n + 3n 3, 6, 14, 36, 98, 276, 794, 2316, 6818,… オンライン整数列大辞典の数列 A001550
1n + 2n + 3n + 4n 4, 10, 30, 100, 354, 1300, 4890, 18700,… オンライン整数列大辞典の数列 A001551
1n + 2n + 3n + 4n + 5n 5, 15, 55, 225, 979, 4425, 20515, 96825, … オンライン整数列大辞典の数列 A001552
1n + 2n + 3n + … + 6n 6, 21, 91, 441, 2275, 12201, 67171, 376761,… オンライン整数列大辞典の数列 A001553
1n + 2n + 3n + … + 7n 7, 28, 140, 784, 4676, 29008, 184820, 1200304,… オンライン整数列大辞典の数列 A001554
1n + 2n + 3n + … + 8n 8, 36, 204, 1296, 8772, 61776, 446964, 3297456,… オンライン整数列大辞典の数列 A001555
1n + 2n + 3n + … + 9n 9, 45, 285, 2025, 15333, 120825, 978405, 8080425,… オンライン整数列大辞典の数列 A001556
1n + 2n + 3n + … + 10n 10, 55, 385, 3025, 25333, 220825, 1978405,… オンライン整数列大辞典の数列 A001557
上記の表において最初の数は自然数、2番目は三角数、3番目は四角錐数、4番目は三角数の2乗である。
(例. 288 = 11 + 22 + 33 + 44)
  • 同じ数の累乗和(整数乗)
a オンライン数列
2
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191,… オンライン整数列大辞典の数列 A000225
3
1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524,… オンライン整数列大辞典の数列 A003462
4
1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, 1398101,… オンライン整数列大辞典の数列 A002450
5
1, 6, 31, 156, 781, 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406,… オンライン整数列大辞典の数列 A003463
6
1, 7, 43, 259, 1555, 9331, 55987, 335923, 2015539, 12093235,… オンライン整数列大辞典の数列 A003464
7
1, 8, 57, 400, 2801, 19608, 137257, 960800, 6725601,… オンライン整数列大辞典の数列 A023000
8
1, 9, 73, 585, 4681, 37449, 299593, 2396745, 19173961,… オンライン整数列大辞典の数列 A023001
9
1, 10, 91, 820, 7381, 66430, 597871, 5380840, 48427561,… オンライン整数列大辞典の数列 A002452
10 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111,… オンライン整数列大辞典の数列 A002275
11 1, 12, 133, 1464, 16105, 177156, 1948717, 21435888, 235794769,… オンライン整数列大辞典の数列 A016123
12 1, 13, 157, 1885, 22621, 271453, 3257437, 39089245, 469070941,… オンライン整数列大辞典の数列 A016125
13 1, 14, 183, 2380, 30941, 402234, 5229043, 67977560, 883708281,… オンライン整数列大辞典の数列 A091030
14 1, 15, 211, 2955, 41371, 579195, 8108731, 113522235, 1589311291,… オンライン整数列大辞典の数列 A135519
15 1, 16, 241, 3616, 54241, 813616, 12204241, 183063616, 2745954241,… オンライン整数列大辞典の数列 A135518
16 1, 17, 273, 4369, 69905, 1118481, 17895697, 286331153, 4581298449,… オンライン整数列大辞典の数列 A131865
17 1, 18, 307, 5220, 88741, 1508598, 25646167, 435984840, 7411742281,… オンライン整数列大辞典の数列 A091045
18 1, 19, 343, 6175, 111151, 2000719, 36012943, 648232975, 11668193551,… オンライン整数列大辞典の数列 A218721
19 1, 20, 381, 7240, 137561, 2613660, 49659541, 943531280, 17927094321,… オンライン整数列大辞典の数列 A218722
20 1, 21, 421, 8421, 168421, 3368421, 67368421, 1347368421,… オンライン整数列大辞典の数列 A064108
21 1, 22, 463, 9724, 204205, 4288306, 90054427, 1891142968,… オンライン整数列大辞典の数列 A218724
22 1, 23, 507, 11155, 245411, 5399043, 118778947, 2613136835,… オンライン整数列大辞典の数列 A218725
23 1, 24, 553, 12720, 292561, 6728904, 154764793, 3559590240,… オンライン整数列大辞典の数列 A218726
24 1, 25, 601, 14425, 346201, 8308825, 199411801, 4785883225,… オンライン整数列大辞典の数列 A218727
25 1, 26, 651, 16276, 406901, 10172526, 254313151, 6357828776,… オンライン整数列大辞典の数列 A218728
26 1, 27, 703, 18279, 475255, 12356631, 321272407, 8353082583,… オンライン整数列大辞典の数列 A218729
27 1, 28, 757, 20440, 551881, 14900788, 402321277, 10862674480,… オンライン整数列大辞典の数列 A218730
28 1, 29, 813, 22765, 637421, 17847789, 499738093, 13992666605,… オンライン整数列大辞典の数列 A218731
29 1, 30, 871, 25260, 732541, 21243690, 616067011, 17865943320,… オンライン整数列大辞典の数列 A218732
30 1, 31, 931, 27931, 837931, 25137931, 754137931, 22624137931,… オンライン整数列大辞典の数列 A218733
上記の表において3番目の数( a0 + a1 + a2 )はオンライン整数列大辞典の数列 A002061を、4番目( a0 + a1 + a2 + a3 )はオンライン整数列大辞典の数列 A053698を参照。
  • 同じ数の累乗和(自然数乗)
a オンライン数列
2
2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, 2046, 4094, 8190,… オンライン整数列大辞典の数列 A000918
3
3, 12, 39, 120, 363, 1092, 3279, 9840, 29523,… オンライン整数列大辞典の数列 A029858
4
4, 20, 84, 340, 1364, 5460, 21844, 87380, 349524, 1398100,… オンライン整数列大辞典の数列 A080674
5
5, 30, 155, 780, 3905, 19530, 97655, 488280, 2441405,… オンライン整数列大辞典の数列 A104891
6
6, 42, 258, 1554, 9330, 55986, 335922, 2015538, 12093234,… オンライン整数列大辞典の数列 A105281
7
7, 56, 399, 2800, 19607, 137256, 960799, 6725600,… オンライン整数列大辞典の数列 A104896
8
8, 72, 584, 4680, 37448, 299592, 2396744, 19173960,… オンライン整数列大辞典の数列 A052379
9
9, 90, 819, 7380, 66429, 597870, 5380839, 48427560,… オンライン整数列大辞典の数列 A052386
10 10, 110, 1110, 11110, 111110, 1111110, 11111110, 111111110,… オンライン整数列大辞典の数列 A105279
11 11, 132, 1463, 16104, 177155, 1948716, 21435887, 235794768,… オンライン整数列大辞典の数列 A105280
12 12, 156, 1884, 22620, 271452, 3257436, 39089244, 469070940,…
上記の表において2番目の数( a1 + a2 )は矩形数を、3番目( a1 + a2 + a3 )はオンライン整数列大辞典の数列 A027444を、4番目はオンライン整数列大辞典の数列 A027445、5番目はオンライン整数列大辞典の数列 A152031、6番目はオンライン整数列大辞典の数列 A228290、7番目はオンライン整数列大辞典の数列 A228291、8番目はオンライン整数列大辞典の数列 A228292、9番目はオンライン整数列大辞典の数列 A228293、10番目はオンライン整数列大辞典の数列 A228294を参照。

参考文献[編集]

Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.

T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.

P. Mihăilescu, "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572 (2004), 167–195.

外部リンク[編集]

関連項目[編集]