四角錐数

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1 + 4 + 9 + 16 = 30 は四角錐数

四角錐数(しかくすいすう、square pyramidal number)は球を右図のように1段目に1個、2段目に4個、3段目に9個、…というように正四角錐の形に積んだとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり平方数1から小さい順にいくつか足した数のことである。

例: 1, 5 (=1+4), 14(=1+4+9), 30(=1+4+9+16), 55(=1+4+9+16+25)

n番目の四角錐数は1からn番目の平方数n2までのに等しいので

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

で表される。これは以下のように証明される。まず n 番目の三角数Tnn番目の四角錐数を Sn とすると、

\frac{S_1}{T_1} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} \ ,\quad \frac{S_2}{T_2} = \frac{5}{3} \ ,\quad \frac{S_3}{T_3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \ ,\quad \frac{S_4}{T_4} = \frac{30}{10} = \frac{9}{3}\ , \ ... \quad , \frac{S_n}{T_n} = \frac{2n+1}{3}

となるので、

S_n = \frac{2n+1}{3} \ T_n = \frac{2n+1}{3} \ \frac{n(n+1)}{2}

が得られる。

また組み合わせの記号を用いると  S_n = {}_{n+1}{\rm C}_{3} + {}_{n+2}{\rm C}_{3} \, となる。これは四角錐数が連続する三角錐数の和で表せることを示しており、四角数が連続する三角数の和で表せることと類似の定理である。

四角錐数を小さい順に列記すると

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, …(オンライン整数列大辞典の数列 A330

四角錐数は1から順に奇数-奇数-偶数-偶数 といった順番の繰り返しで現れる。

四角錐数のうち平方数でもある数は1と4900(24番目の四角錐数)の2つのみである。また四角錐数でなおかつ三角錐数でもある数は1のみである。

n × nマスの方眼の中に含まれる正方形の数はn番目の四角錐数に等しい。

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