四角錐数

1 + 4 + 9 + 16 = 30 は四角錐数

四角錐数（しかくすいすう、square pyramidal number）は球を右図のように1段目に1個、2段目に4個、3段目に9個、…というように正四角錐の形に積んだとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり平方数を1から小さい順にいくつか足した数のことである。

四角錐数を小さい順に列記すると

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, …（オンライン整数列大辞典の数列 A330）

例： 1, 5 (=1+4), 14 (=1+4+9), 30 (=1+4+9+16), 55 (=1+4+9+16+25)

性質

n番目の四角錐数は 1 から n 番目の平方数 n² までの和に等しいので

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

で表される。これは以下のように証明される。まず n 番目の三角数を T_n 、n 番目の四角錐数を S_n とすると、

${\frac {S_{1}}{T_{1}}}={\frac {1}{1}}={\frac {3}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{2}}{T_{2}}}={\frac {5}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{3}}{T_{3}}}={\frac {14}{6}}={\frac {7}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{4}}{T_{4}}}={\frac {30}{10}}={\frac {9}{3}}\ ,\ ...\quad ,{\frac {S_{n}}{T_{n}}}={\frac {2n+1}{3}}$${\frac {S_{1}}{T_{1}}}={\frac {1}{1}}={\frac {3}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{2}}{T_{2}}}={\frac {5}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{3}}{T_{3}}}={\frac {14}{6}}={\frac {7}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{4}}{T_{4}}}={\frac {30}{10}}={\frac {9}{3}}\ ,\ ...\quad ,{\frac {S_{n}}{T_{n}}}={\frac {2n+1}{3}}$

となるので、

$S_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ T_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ {\frac {n(n+1)}{2}}$$S_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ T_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ {\frac {n(n+1)}{2}}$

が得られる。

また組み合わせの記号を用いると　$S_{n}={}_{n+1}{\rm {C}}_{3}+{}_{n+2}{\rm {C}}_{3}\,$$S_{n}={}_{n+1}{\rm {C}}_{3}+{}_{n+2}{\rm {C}}_{3}\,$ となる。これは四角錐数が連続する三角錐数の和で表せることを示しており、四角数が連続する三角数の和で表せることと類似の定理である。

四角錐数は1から順に奇数-奇数-偶数-偶数　といった順番の繰り返しで現れる。

四角錐数のうち三角数でもある数は 1, 55, 91, 208335 の4つのみである。(オンライン整数列大辞典の数列 A039596)

四角錐数のうち平方数でもある数は 1 と 4900 （24番目の四角錐数）の 2 つのみである。また四角錐数でなおかつ三角錐数でもある数は 1 のみである。

n × n マスの方眼の中に含まれる正方形の数は n 番目の四角錐数に等しい。

関連項目

• 四角数
• 四角錐
• 三角錐数, 五角錐数

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Square Pyramidal Number" - MathWorld.（英語）