1−2+3−4+…

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1−2+3−4+… の部分和が発散する様子の模式図

1−2+3−4+… は、無限級数の一つで、番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n

その部分和は 1, −1, 2, −2, 3, −3, … と一定の値に近づくことはないので、この級数発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は 1/4 である。 これは18世紀レオンハルト・オイラーによって発見された。その後エミール・ボレルらによって研究が行われ、その他の部分和が収束しない級数(1−1+1−1+… など)の収束値についても考察がなされた。

部分和を求める計算[編集]

1 = 1
1 − 2 = −1
1 − 2 + 3 = 2
1 − 2 + 3 − 4 = −2
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3

このように部分和は 0 以外の全ての整数を取りうる。したがって 1 − 2 + 3 − 4 + … は発散する。正または負の無限大に発散するということではない。

収束すると考えた場合の計算[編集]

白丸をプラス、赤丸をマイナスとしたとき4つの級数の和が1になることの説明。線で結ばれた白と赤の丸が相殺しあい、緑丸1つが残っている

以下の議論は単なるヒューリスティクスであり、現代的な観点からは厳密な証明とは認められない。

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − … = S とおき、4S を計算する。

4S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)
  = (1−2+3−4+…)+1+(−2+3−4+5−…)+1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)
  = 1+(1−2−2+3)+(+3−4−4+5)+(−2+3+3−4)+(−4+5+5−6)+…
  = 1

よって、S = 1/4 である。

なおこの結果を用いて 2S を計算すると

2S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)
  = 1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)
  = 0+(−2+3)+(+3−4)+(−4+5)+(+5−6)+…
  = 1−1+1−1+…

2S = 1/2 なので、1−1+1−1+… = 1/2 となる。

1−1+1−1+… の2乗を計算する過程を示した図

(1−1+1−1+…)2 = 1−2+3−4+…, 1−1+1−1+… = 1/2 であることを利用して 1−2+3−4+… = 1/4 を証明する方法がある。

1−1+1−1+… は公式

1-x+x^2-x^3+\cdots=\frac{1}{1+x}(右辺のマクローリン展開とも考えられる)

に形式的に x = 1 を代入したものと考えることにする(ただし本来この式は −1 < x < 1 の範囲でしか成り立たないので、厳密にはここの議論は正しくない)。

またこの式の両辺を x微分して −1 をかけると

1-2x+3x^2-4x^3+\cdots=\frac{1}{(1+x)^2}

ここで x = 1 を代入すると 1−2+3−4+… = 1/4 を得る。これらの他にも収束値を求める方法はいくつか知られている。

現代的な解釈[編集]

形式的に 1−2+3−4+… は、ディリクレのイータ関数

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1} \over n^s}.

において s = −1 を代入したものである。この和は s実部が 0 より大きくなければ収束しないが、イータ関数は複素数平面全域に解析接続されて、η(−1) の値も正式に定義される。その値は確かに 1/4 である。実際、イータ関数はゼータ関数 ζ(s) と

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

という関係を持つので、ゼータ関数の関数等式よりイータ関数の関数等式を得るし、ゼータ関数の特殊値 ζ(−1) = −1/12 から η(−1) の値を得る。

関連項目[編集]