無限算術級数

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数学における無限算術級数(むげんさんじゅつきゅうすう、: infinite arithmetic series)は、その項が算術数列を成す無限級数を言う。1 + 1 + 1 + 1 + · · ·1 + 2 + 3 + 4 + · · · はその例であるが、無限算術級数の一般形は

と書ける。a = b = 0 のときは級数の和も 0 であるが、a, b のどちらかが非零ならば、級数は発散して通常の意味では和を持たない。

ゼータ正則化[編集]

正しい形 (the right form) での算術級数のゼータ正則化和は、対応するフルヴィッツゼータ函数の値として

で与えられる[注釈 1]。ゼータ正則化和 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ζR(0) = −1/2 に、また 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ζR(−1) = −1/12 に(ゼータとしてはリーマンゼータ函数 ζR をとって)割り当てられるけれども、上記の和が に等しいとは一般にはならない。

注釈[編集]

  1. ^ 一般形は と見なすと処理できる。

参考文献[編集]

  • Brevik, I.; Nielsen, H. B. (February 1990). “Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185. 
  • Elizalde, E. (May 1994). “Zeta-function regularization is uniquely defined and well”. Journal of Physics A: Mathematical and General 27 (9): L299–L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010.  (arXiv preprint)
  • Li, Xinzhou; Shi, Xin; Zhang, Jianzu (July 1991). “Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 44 (2): 560–562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560. 

関連項目[編集]