平方三角数

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平方三角数(へいほうさんかくすう、: square triangular number)は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 62 であり、また8番目の三角数 8(8+1)/2 でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは1である。

平方三角数を小さい順に列記すると

1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …(オンライン整数列大辞典の数列 A1110

となる。

k番目の平方三角数 Nk

で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している[1][2][3]

公式の導出[編集]

ある自然数 Nn番目の三角数かつm番目の四角数であるとすると、

である。両辺を8倍して平方完成することにより (2n + 1)2 = 8m2 + 1 となる。x = 2n + 1, y = 2m とおけば、ペル方程式 x2 - 2y2 = 1 を得る。その一般解 (xk, yk) は

で与えられ、よって

である。したがって、k番目の平方三角数 Nk = (yk/2)2 は冒頭の式で与えられる。

その他の性質[編集]

Nk は漸化式

を満たす。その母関数

で与えられる。

脚注[編集]

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  1. ^ Dickson 2005a, p. 16
  2. ^ Dickson 2005b, pp. 10, 16, 27
  3. ^ Euler 1813, pp. 12–13

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]