中心つき六角数

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37は、四番目の「中心つき六角数」。
六角形のマスを用いる変則チェスの一種。マス目の個数は、6番目の中心つき六角数である91個。

中心つき六角数(ちゅうしんつきろっかくすう、: centered hexagonal number)あるいはヘックス数 (hex number) とは、中心つき多角数の一種で、中心の一点を囲むように正六角形の形に点を並べたときの点の個数の総称である。

小さい順に

n 中心
計 − 1 三角数 ×6 +1
1 001 0 0 ×6 +1
2 007 6 1
3 019 18 3
4 037 36 6
5 061 60 10
6 091 90 15
7 127 126 21
8 169 168 28
9 217 216 36
10 271 270 45
11 331 330 55
12 397 396 66
13 469 468 78
14 547 546 91
15 631 630 105
16 721 720 120
17 817 816 136
18 919 918 153
…(オンライン整数列大辞典の数列 A3215

である。

性質[編集]

三角数の6倍に1を加えた数として特徴づけられる[1]

なお、上表のうち1, 19, 631は、中心つき三角数でもある。

単に「六角数」と呼ばれることもあるが、古代ギリシアで研究対象とされた多角数の一種である六角数と区別する必要がある(上表では1と91はどちらにも含まれる)。

n 番目の中心つき六角数を Hn とすると、H1 = 1 で漸化式

を満たすから、一般項は

である。ここに、Δnn 番目の三角数である。中心つき六角数の母関数

で与えられる。

*
**
***
****
*****
******
*******
n=3の場合

または 28 - 3×3

n 番目までの中心つき六角数の和は立方数となる。すなわち

が成り立つ。これは

より分かる。別の表現をすると、中心つき六角数は立方体数のグノモンである。

中心つき六角素数[編集]

中心つき六角素数(ちゅうしんつきろっかくそすう) とは中心つき六角数の数列において素数となる数である。具体的には

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919,… オンライン整数列大辞典の数列 A002407.

(対応する n の値は 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, ...)

千以下で約61.1%、1万以下でも約48.3%が該当する[2]

脚注[編集]

  1. ^ How to determine the angle within hexagonal spiral? PC Review (Sandy Mann, Dec 30, 2007)
  2. ^ 91:ヘックス数の天才的求め方 - インテジャーズ

関連項目[編集]

外部リンク[編集]