1+2+3+4+…

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A graph depicting the series with layered boxes and a parabola that dips just below the y-axis
級数 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ の部分和の最初の四項。抛物線はその平滑化漸近線であり、実はその y-切片の値が −1/12 に等しい

自然数すべての総和 1 + 2 + 3 + 4 + … は、その n-次の部分和

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

三角数によって与えられ、これは n無限大に飛ばすとき際限なく増加するから、部分和の有限な極限に収斂しないことを以って、この級数は発散し、通常の意味で言うところの「和」を持たない。

一見するとこの級数が意味のある値を持つことは全くないように思われるけれども、この級数に数学的に意味のある値を結びつける方法が存在しており、そうして得られた値は複素解析場の量子論弦理論などの分野において応用がある。即ち、数学においては、このような発散級数にさえ有限な数値を割り当てる様々に異なる総和法が用いられており、特にゼータ函数正規化ラマヌジャン総和法では件の級数に −1/12 を値として割り当てるが、これをよく知られた公式

1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}

として式に表す[1]モンスター群の月光現象に関するモノグラフでテリー・ガノン英語版はこの等式を「自然科学においてもっとも注目すべき公式の一つ」と評した[2]

部分和について[編集]

三角数の最初の六項

級数 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ の部分和は順に 1, 3, 6, 10, 15, … と続き、第 n-部分和は簡単な公式

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

によって与えられる。この等式はピタゴラス学派によって紀元前6世紀ごろには早くも知られていた[3]。この形で与えられる数は、各項を点を三角形状に並べることで数えられることから、三角数と呼ばれる数である。

三角数からなる無限数列は +∞ に発散するから、定義により無限級数 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ もまた +∞ に発散する。これが発散することは「項が 0 に収斂しないならば級数は発散する」という項判定法英語版の単純な帰結である。

総和可能性について[編集]

様々知られた古典的な発散級数の中でも 1 + 2 + 3 + 4 + … は有限値へ持ち込むことが比較的難しい。発散級数に有限な数値を割り当てる総和法は無数に異なるものが存在するが、それらの中には総和法としての強さが比較可能なものがある。例えば、チェザロ総和法は緩やかに発散するグランディ級数 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ を 1/2 に総和することはよく知られているが、アーベル総和法英語版はグランディ級数を 1/2 に総和するのみならず、より扱いの難しい級数 1 − 2 + 3 − 4 + … までも 1/4 に総和することができる。

これらの級数と異なり、1 + 2 + 3 + 4 + … はチェザロ総和可能でもアーベル総和可能でもない。これらの総和法が適用できるのは収斂級数と振動級数に対してのみであり、+∞ に発散する級数については有限な値を生み出すことはできないのである[4]。そこでより発展的な総和法が必要になるのであるが、それは例えばゼータ函数正規化やラマヌジャン総和法である。だいたいそういった方法による経験論を用いて、この級数の値が −1/12 であると論ずることができる。

経験論的な説明[編集]

Passage from Ramanujan's first notebook describing the "constant" of the series

ラマヌジャンは彼のノートブックの8章において "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12" の導出を二種類の方法で与えている[5][6][7]。厳密さをさておいて簡単に述べれば以下のようなことになる。

考察の第一の鍵は、正項級数 1 + 2 + 3 + 4 + …交項級数 1 − 2 + 3 − 4 + … にきわめてよく似ていることである。後者の級数もまた発散するのであるが、扱いは極めて容易で、これに値を割り当てる古典的な総和法がいくつか存在し、それは18世紀にはすでに発見されていた[8]

さて級数 1 + 2 + 3 + 4 + … を級数 1 − 2 + 3 − 4 + … に変形するのに、第二項から 4 を引き、第四項から 8 を引き、第六項から 12 を引き……、という具合にやって行けば、引かれる総量は 4 + 8 + 12 + 16 + … でこれはもとの級数の 4-倍である。これを少し代数学的に書いてみよう。この級数の「和」となるべきものがあるとしてそれを c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ と呼ぶことにすると、これを 4-倍してもとの式から引けば


\begin{alignat}{7}
c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\
4c&{}={}& 4&& {}+8&&{} +12+\cdots \\
-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\	
\end{alignat}

を得る。

考察の第二の鍵は、交項級数 1 − 2 + 3 − 4 + … が 1/(1 + x)2 の形式冪級数展開の x を 1 で置き換えたものになっていることである。ラマヌジャンの筆記に従えば

-3c=1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac{1}{4}

の両辺を −3 で割って、c = −1/12 を得る。

一般論で言えば、無限級数を(特に発散級数を)有限和と同様のものであるかのように扱うことは危険である。例えば発散級数に対してその任意の位置に無数の 0 を挿入することでさえ、自己矛盾した結果を導き得る(まして他と整合する結果であることをあらかじめ望むべくもない)。特に、4c = 0 + 4 + 0 + 8 + … とした手順は、単に加法単位元の基本性質のみで正当化することができるものではないのである。さらに極端な例として、級数の先頭にたった一つ 0 を付け加えるだけで矛盾した結果を導くことができることさえある[9]

この状況を改善して 0 の挿入可能な場所を制限する一つの方法は、適当な函数に従って配置することによって各項のつながり方を保つことである[10]。級数 1 + 2 + 3 + 4 + … における各項 n は単なる数であるが、ここで項 n を複素変数 s に関する函数 n−s へ昇華するならば、項が足し合わされるというようなことだけについては保証することができるようになる。そうして得られた級数はより厳密な取扱いができるようになるし、そのあとで変数 s を −1 に特殊化することもできる。こういった手法を形にしたものがゼータ函数正規化である。

ゼータ函数正規化[編集]

リーマンゼータ ζ(s) のグラフ。s > 1 で級数は収斂し ζ(s) > 1 であることがわかる。極 s = 1 の周りでの解析接続によって負の領域まで延長すれば ζ(−1) = −1/12 などの場合も含まれる。

ゼータ函数正規化において、級数 \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty n は級数 \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty n^{-s} に置き換えられる。後者の級数はディリクレ級数の一例である。複素変数 s の実部が 1 より大きいとき、このディリクレ級数は収斂し、その和はリーマンゼータ函数 ζ(s) に等しい。一方、実部が 1 以下のときは、このディリクレ級数は発散し、特に級数 1 + 2 + 3 + 4 + …s = –1 と置いたものだから、発散する。リーマンゼータ函数を導入するメリットは、そうすれば s に関する解析接続によって級数の収斂領域の外側まで矛盾なく定義することができることにある。そうして、級数 1 + 2 + 3 + 4 + … のゼータ函数正規化された「和」を ζ(−1) = −1/12 と定義するのである。(より一般に、ζ(s) の値は \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}e^{hn}h = 0 の周りでのローラン展開の定数項として常に与えられる。)

ところで、ζ(−1) = −1/12 を証明する方法はいくつか知られている。一つの方法は、オイラーの論法に沿ったもので[11]、リーマンゼータ函数とディリクレイータ函数英語版 η(s) との間の関係を用いる。このイータ函数は交代ディリクレ級数によって定義されるもので、故にこの方法は古き経験論的方法をなぞるものである。両ディリクレ級数が収斂する領域において、等式


\begin{alignat}{8}
\zeta(s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots& \\
2\cdot2^{-s}\zeta(s)&{}={}& 2\cdot2^{-s}&& {}+2\cdot4^{-s}&&{} +2\cdot6^{-s}+\cdots& \\
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots&=\eta(s) \\	
\end{alignat}

が成り立ち、この等式 (1-2^{1-s})\zeta(s)=\eta(s) は、上記の級数が発散する領域の s に対しても、解析接続によって延長すれば保たれる。故に s = −1 を代入して −3ζ(−1) = η(−1) を得るが、このイータ函数はこの級数を定義するアーベル和に等しいから η(−1) は容易に計算できる[12]。つまり、片側極限

-3\zeta(-1)=\eta(-1)=\lim_{x\nearrow 1}\left(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots\right)=\lim_{x\nearrow 1}\frac{1}{(1+x)^2}=\frac14

が求まって、両辺を −3 で割れば、ζ(−1) = −1/12 を得る。

平滑化漸近線[編集]

級数を矩形を並べたものとして表したグラフ
級数 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
級数を滑らかな曲線で抑えられる領域として表したもの
平滑化したもの
 抛物線の y-切片が x-軸よりも下へ沈み込んでいることが見て取れる
平滑化の漸近的挙動。この抛物線の y-切片は −1/12 である[9]

テレンス・タオは級数の平滑化によって −1/12 が得られることを指摘している。平滑化はゼータ函数正規化(複素解析を背景とする)とラマヌジャン総和法(オイラー-マクローリンの公式英語版の便法)とを概念的に橋渡しするものである。これは、保守的な級数変化法を直接操作する代わりに、実解析の方法論を用いるのである。

この考えは、素性の悪い (ill-behaved) 離散的級数 \scriptstyle \sum_{n=0}^Nn を、よい性質を持つカットオフ函数英語版 f を用いて、その滑らかな変形版 \scriptstyle \sum_{n=0}^\infty nf(n/N) で置き換える。このカットオフ函数は f(0) = 1 に正規化されていなければならない(これは微分方程式において用いられる正規化とは異なる)。カットオフ函数は級数の悪い点を滑らかにするなめに十分に有界な導函数を持ち、級数の増加よりも早く 0 に減少する必要がある。便宜のため、f滑らか有界かつ台がコンパクト英語版であるものと仮定する。このとき、この平滑化された和が −1/12 + CN2漸近することが示される(ただし Cf に依存して決まる定数)。この漸近展開の定数項は f の選び方に依らないが、これが必ずしも解析接続によって得られる値 −1/12 と同じであると決まっているわけではない[9]

ラマヌジャン総和法[編集]

1 + 2 + 3 + 4 + …ラマヌジャン和英語版も −1/12 になる。ハーディへ宛てたラマヌジャンの二通目の書簡 (1913年2月27日付け) には

"Dear Sir, I am very much gratified on perusing your letter of the 8th February 1913. I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking me to study carefully Bromwich's Infinite Series and not fall into the pitfalls of divergent series. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter. …"[13]やあ先生、1913年2月8日付の手紙を熟読してすごく満足したよ。僕はあなたからの返事は、ロンドンの数学教授が言うように「ブロムウィッチ英語版の『無限級数』を用心深く学んで、発散級数の落とし穴に嵌らないようにしなさい」というようなものだと思ってたんだ。僕は彼に言ったよ、僕の理論では無限個の項を持つ級数 1 + 2 + 3 + 4 + … の和は −1/12 なんだって。… これを言ったら先生は僕にすぐに精神病院へ行けって言うんだろう。一通の手紙に続けて書いたら僕の証明法が追えないかもしれないってことを、単に納得させるためにこれを推し進めるよ。…[訳語疑問点]

と書かれている。

ラマヌジャン総和法は、級数の部分和に対するオイラー-マクローリンの公式の定数項だけを分離する方法である。函数 f に対して、級数 \scriptstyle \sum_{k=1}^\infty f(k) の古典ラマヌジャン和は

c=-\frac{1}{2}f(0)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)

で定義される。ここで f(2k−1)f の (2k−1)-階導函数で B2k は 2k-番目のベルヌーイ数である (B2 = 1/6, B4 = −1/30 …) f(x) = x とすれば f の一階導函数が 1 で残りはすべて消えるから、

c=-\frac16\cdot\frac{1}{2!} = -\frac{1}{12}

を得る[14]

矛盾が起きるのを避けるため、ラマヌジャン総和法の現代的理論では、f の高階導函数が「オイラー-マクローリンの公式の剰余項が 0 に収斂するのに十分な速さで減少する」という意味の「正則性」を持つことを要求する。ラマヌジャンはこの性質を暗に仮定している[15]。この正則性を課すことによって、そのような正則な函数をとることができない 0 + 2 + 0 + 4 + … のような病的な級数にラマヌジャン総和法が適用されることは防げる。そのような級数について、ラマヌジャン和の代わりにゼータ函数正規化によって解釈されるべきである。この理由を以ってハーディは、既知の級数のラマヌジャン和を関連する級数の和を求めるのに用いるときには「厳重な注意」("great caution") を要すると述べた[16]

物理学での応用[編集]

ボゾン弦理論英語版では、弦の取り得るエネルギー準位、とくに最低エネルギー準位を計算することが試みられる。砕けた言い方をすると、時空の次元を D とするとき、弦の各調波は D−2 個の独立な量子調和振動子英語版(各々は横波)の集まりと見ることができて、基本振動周波数が \omega なら振動子のエネルギーにおける n 番目の調波の寄与は n\hbar\omega/2 となるので、件の級数を用いれば全ての調波に亘る和を計算すると -\hbar\omega (D-2)/24 が得られる。最終的には、この事実にゴダード・ソーンの定理英語版を合わせて、ボゾン弦理論が26次元でないと無矛盾にならないことが導かれる。

級数 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ の計算は一次元のスカラー場に対するカシミール力の計算にも関わってくる。指数的カットオフ函数は級数を滑らかにするのに十分で、これは高エネルギー状態が導電性板によってブロックされないという事実を表している。この問題の空間対称性はこの展開の二次の項がキャンセルされることの原因である。残るのは定数項 −1/12 であるが、この負符号はカシミール力が吸引力であるという事実を反映している[17]

同様の計算は三次元でも存在し、リーマンゼータの代わりにエプスタインゼータが用いられる[18]

メディアでの扱い[編集]

デーヴィッド・リーヴィット英語版の小説 The Indian Clerk には、ハーディとリトルウッドがこの級数について議論するシーンが出てくる[19] Simon McBurney's 2007 play A Disappearing Number focuses on the series in the opening scene.[20]

In January 2014, the YouTube series Numberphile produced a video on the series, which gathered over 1.5 million views in its first month.[21] The 8-minute video is narrated by Tony Padilla, a physicist at the University of Nottingham. Padilla begins with 1 − 1 + 1 − 1 + · · · and 1 − 2 + 3 − 4 + · · · and relates the latter to 1 + 2 + 3 + 4 + · · · using a term-by-term subtraction similar to Ramanujan's argument.[22] Numberphile also released a 21-minute version of the video featuring Nottingham physicist Ed Copeland, who describes in more detail how 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1/4 as an Abel sum and 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 as ζ(−1).[23] After receiving complaints about the lack of rigor in the first video, Padilla also wrote an explanation on his webpage relating the manipulations in the video to identities between the analytic continuations of the relevant Dirichlet series.[24]

In the New York Times coverage of the Numberphile video, mathematician Edward Frenkel commented, "This calculation is one of the best-kept secrets in math. No one on the outside knows about it."[21]

注記[編集]

  1. ^ Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra, ed., Vertex operator algebras and the zeta function, Contemporary Mathematics, 248, pp. 327–340, arXiv:math/9909178 
  2. ^ Gannon, Terry (April 2010), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, p. 140 
  3. ^ Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken et al, ed., The bridge between the continuous and the discrete via original sources, National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden, p. 3 
  4. ^ Hardy p.10
  5. ^ Ramanujan's Notebooks, http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NoteBooks/NoteBook1/chapterVIII/page3.htm 2014年1月26日閲覧。 
  6. ^ Abdi, Wazir Hasan (1992), Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, p. 41 
  7. ^ Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, pp. 135–136 
  8. ^ Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006年). “Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series”. The Euler Archive. 2007年3月22日閲覧。 Originally published as Euler, Leonhard (1768). “Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques”. Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106. 
  9. ^ a b c Tao, Terence (April 10, 2010), The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ 2014年1月30日閲覧。 
  10. ^ 数を函数に昇華して考えることは、二つの広汎な総和法のクラスの、アーベル総和法やボレル総和法などを含む一派として理解することができる。Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. pp. 475–476. ISBN 0-486-66165-2. 
  11. ^ Stopple, Jeffrey (2003), A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann, p. 202, ISBN 0-521-81309-3 
  12. ^ Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. pp. 490–492. ISBN 0-486-66165-2. 
  13. ^ Berndt et al. p.53.
  14. ^ Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, pp. 13,134 
  15. ^ Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, pp. 13,134 
  16. ^ Hardy p.346
  17. ^ Zee pp.65–67
  18. ^ Zeidler, Eberhard (2007), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, pp. 305–306, ISBN 9783540347644, http://books.google.com/books?id=XYtnGl9enNgC&pg=PA305 .
  19. ^ Leavitt, David (2007), The Indian Clerk, Bloomsbury, pp. 61–62 
  20. ^ Thomas, Rachel (December 1, 2008), “A disappearing number”, Plus, http://plus.maths.org/content/disappearing-number 2014年2月5日閲覧。 
  21. ^ a b Overbye, Dennis (February 3, 2014), “In the End, It All Adds Up to – 1/12”, New York TImes, http://www.nytimes.com/2014/02/04/science/in-the-end-it-all-adds-up-to.html 2014年2月3日閲覧。 
  22. ^ ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 - YouTube
  23. ^ Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) - YouTube
  24. ^ Padilla, Tony, What do we get if we sum all the natural numbers?, http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html 2014年2月3日閲覧。 

参考文献[編集]

  • Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin (1995). Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0287-9. 
  • Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCC QA295 .H29 1967. 
  • Zee, A. (2003). Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. ISBN 0-691-01019-6. 

関連文献[編集]

外部リンク[編集]