漸近線

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グラフ y = x + 1/x の漸近線は y軸と直線 y = x である。

解析幾何学において、平面曲線漸近線(ぜんきんせん、: asymptote)とは、曲線との距離が十分遠くで 0 に近づく直線のことである(遠くで一致しないことを仮定することも多い)。曲線の接線極限が存在するならばそれは漸近線に等しい[1]。曲線が直線と無限回交わらないと仮定する場合もあるが、これは現代においては一般的ではない[2]代数幾何学などでは、漸近線は無限遠点で曲線と接する直線と定義される[3][4]

漸近線は存在するとは限らず、また複数存在する場合もある。漸近線を見出すことは、曲線の概形をつかむ一助となる。とくに座標平面における関数グラフの漸近線の方程式は、(存在の可否も含めて)求め方が確立されている。

漸近線として直線だけでなく曲線を考えることもある。

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グラフ y = 1/x の漸近線は、x軸および y軸である。
曲線が漸近線と無限回交わる例

定数関数多項式関数のグラフには、漸近線は存在しない。漸近線が存在する最も簡単な例は、関数 f(x) = 1/x のグラフである。このグラフの漸近線は、直線 x = 0 と直線 y = 0 である。グラフを描くと、曲線 y = 1/xx → 0±, x → ±∞ のときにそれぞれ y軸、x軸に近づくことが見てとれる。この場合はグラフと漸近線は共有点を全く持たないが、一般にはそうとは限らない。漸近線が存在する関数は他にもいくつかある。なかでも代表的なものは以下の通りである。

座標平面上の関数とその漸近線
関数名 関数式 漸近線の方程式
正接関数 y = tan x x = π/2 + nπ
n は整数)
指数関数 y = ax (a > 0, a ≠ 1) y = 0
対数関数 y = loga x (a > 0, a ≠ 1) x = 0
双曲線 (a > 0, b > 0) y = ±b/ax
双曲線正接関数 y = ±1
逆正接関数 y = arctan x y = ±π/2
逆双曲線正接関数 y = tanh−1 x = 1/2 log 1 + x/1 − x x = ±1

分数関数においては、分母が 0 になるところで漸近線になり、x → ±∞ で漸近線が存在する場合があるが、それぞれ存在しないこともある。

どちらも存在しない例:

無理関数で漸近線が存在するのは (a > 0) の形に限られる(漸近線は y = (k + b)x + c)。

グラフと漸近線が遠くで無限回交わる例もある。減衰曲線(y = sin x/xy = exsin x など)と x軸はその一例である。

関数の漸近線[編集]

座標平面上の関数 y = f(x) のグラフの漸近線は、直線であるから、次の2タイプである。

  1. y軸平行の直線(方程式:x = a
  2. x → ∞, x → −∞ それぞれで漸近する直線(方程式:y = ax + b

y軸平行の漸近線[編集]

直線 x = a がグラフ y = f(x) の漸近線であるための必要十分条件は、以下の4つのいずれかを満たすことである。

いずれの場合においても、fx = a で不連続である。したがって、関数の不連続点が、y軸平行の漸近線の場所の候補である。

x → ±∞ で漸近する直線[編集]

x → ∞ で グラフ y = f(x) が直線に漸近するとき、漸近線の式は y = ax + b と表される。このとき、a, b はそれそれ次の極限で求められる(x → −∞ の場合も同様)。

証明

直線 y = ax + bx → ∞ でグラフ y = f(x) に漸近するから、

が成り立つ。左辺の式を x で割った式は、尚のこと 0 に近付くから、

ここで

であるから、

(∗) より、

である。■

この等式より、x → ±∞ で漸近する直線は、x → ∞x → −∞ にそれぞれ高々1つである。

x軸平行の漸近線[編集]

とくに x軸平行の漸近線は、前節の a = 0 の場合であり、漸近線 y = b

または

で与えられる。

y = arctan x は、2つの水平な漸近線が存在する例である。

例えば、逆正接関数 y = arctan x では、

より、y = ±π/2 は漸近線である。

分数関数の漸近線[編集]

分数関数の漸近線の方程式は、上記の方法を使わずに求めることができる。

分数関数 y = g(x)/h(x)(既約分数式)の漸近線は次の2タイプである。

  1. 直線 x = a1, …, x = an
  2. 直線 y = q(x) (1次以下)

ここで、

  • x = a1, …, anh(x) = 0, g(x) ≠ 0 を満たす
  • q(x), r(x)g(x) ÷ h(x) のそれぞれ商, 余り

例えば、

y軸平行な漸近線は直線 x = 0, x = 1 である。直線 x = 2 は漸近線でない。

y = g(x)/h(x)x → ±∞ で漸近する直線は次の表のようになる。

分数関数の x → ±∞ で漸近する直線
deg g − deg h x → ±∞ で漸近する直線 分数関数,x → ±∞ で漸近する直線の例
< 0 y = 0
= 0 y = q (≠ 0)
= 1 y = ax + b (a ≠ 0)
> 1 存在しない , なし

媒介変数表示された曲線の漸近線[編集]

(sec(t), cosec(t)) は、水平方向と垂直方向にそれぞれ2本ずつ漸近線を持つ。この曲線は x2 + y2 = (xy)2陰関数表示できる。

媒介変数表示された平面曲線

を考える(ここで、α−∞ でもよく β でもよい)。曲線は無限遠方に行く、すなわち

が成り立つと仮定する。直線 l が曲線 A の漸近線であるとは、tβ のとき点 A(t)l の距離が 0 に収束することをいう[5][6]

例えば、曲線 y = 1/x の右上の枝は媒介変数 t により x = t, y = 1/t (t > 0) と表示できる。まず、t → ∞ のとき x → ∞ であり、曲線上の点と x軸の距離 1/tt → ∞ のとき 0 に収束する。したがって、x軸は曲線の漸近線である。また、t → 0+ のとき、y → ∞ であり、このとき曲線上の点と y軸の距離 t0 に収束する。したがって y軸も漸近線である。同様に、曲線の左下の枝も同じ2本の直線が漸近線であることが示される。

一般に、直線 l : ax + by + c = 0 と、曲線上の点 A(t) = (x(t), y(t)) の距離は

で与えられるので、直線 l が(tβ のときの)曲線 A の漸近線であることと、この値が tβ のとき 0 に収束すること、あるいは同じことだが

であることと同値である。曲線の媒介変数表示は一意ではないが、漸近線の定義はその取り方に依らない。実際、γ(t) を媒介変数の取り換えとすると、(∗∗)

と同値であるからである。

実一変数の実数値関数グラフは、媒介変数表示された平面曲線の特別な場合である。関数 y = f(x) のグラフは座標平面上の点 (x, f(x)) 全体の集合である。このため、径数付け(の一つ)は

である。

関数のグラフでは、垂直でない漸近線は x → ±∞ にそれぞれ高々1本ずつに限られるが、媒介変数表示から定まる一般の曲線は、垂直でない漸近線を3本以上持つこともあるし、1つの垂直な漸近線と2回以上交わる場合もある。

代数曲線の漸近線[編集]

曲線である漸近線[編集]

y = (x3 + 2x2 + 3x + 4) / x(実線)とそれの曲線である漸近線 y = x2 + 2x + 3(破線)。

漸近線は直線であると通常は仮定するが、曲線によっては曲線である漸近線も考えると形をとらえやすいことがある。

例えば、曲線

は、放物線 y = x2 + 2x + 3x → ±∞ で漸近する。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 数研通信80号(2014年9月) (PDF)
  2. ^ "Asymptotes" by Louis A. Talman
  3. ^ Williamson, Benjamin (1899), “Asymptotes”, An elementary treatise on the differential calculus, http://books.google.com/?id=znsXAAAAYAAJ&pg=241 
  4. ^ Nunemacher, Jeffrey (1999), “Asymptotes, Cubic Curves, and the Projective Plane”, Mathematics Magazine 72 (3): 183–192, doi:10.2307/2690881, JSTOR 2690881, http://jstor.org/stable/2690881 
  5. ^ 青本和彦、上野健爾加藤和也神保道夫 『岩波 数学入門辞典』 岩波書店2005年9月29日ISBN 978-4000802093
  6. ^ Pogorelov, A. V. (1959), Differential geometry, Translated from the first Russian ed. by L. F. Boron, Groningen: P. Noordhoff N. V., MR0114163 , §8.

参考文献[編集]