オイラーの和公式

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数学において、オイラーの和公式(オイラー・マクローリンの公式)は級数の和を与える公式である[1]。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、f(x)が多項式であるような場合を除き、m\to\inftyとすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。この公式は台形公式による数値積分の誤差を示すものとも考えられる。

\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}
\sum_{j=1}^{n-1}f(j)+\frac{1}{2}\left(f(0)+f(n)\right)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}
R_{m}=(-1)^{m+1}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx

但し、B_nベルヌーイ数B_n(x)ベルヌーイ多項式である。

B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,B_4=-\frac{1}{30},B_5=0,B_6=\frac{1}{42},B_7=0,B_8=-\frac{1}{30},B_9=0,B_{10}=\frac{5}{66},\cdots
B_0(x)=1,B_1(x)=x-\frac{1}{2},B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\dots

なお、f^{(k)}は導関数、\lfloor{x}\rfloor床関数を表す。

証明[編集]

ベルヌーイ多項式の性質(若しくは定義)により

\int_{0}^1\frac{B_{k-1}(x)}{(k-1)!}f^{(k-1)}(x)dx=\int_{0}^1\left(\frac{B_{k}(x)}{k!}\right)'f^{(k-1)}(x)=\left[\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1-\int_{0}^1\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k)}(x)dx

である。有限回の部分積分を繰り返して

\int_{0}^1f(x)dx=\int_{0}^1B_0(x)f(x)dx=\sum_{k=1}^{m}\left[(-1)^{k-1}\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1+(-1)^{m}\int_{0}^1\frac{B_{m}(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx

となるが、これはf(x)f(j+x)に置き換えても成り立つから

\begin{align}\int_{0}^{n}f(x)dx&=\sum_{j=0}^{n-1}\int_{0}^{1}f(j+x)dx\\
&=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=1}^{m}\left[(-1)^{k-1}\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1+(-1)^{m}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx
\end{align}

である。B_1(0)=-\textstyle\frac{1}{2},B_1(1)=\textstyle\frac{1}{2},B_{2k}(0)=B_{2k}(1)=B_{2k},B_{2k+1}(0)=B_{2k+1}(1)=B_{2k+1}=0を代入すれば

\int_{0}^{n}f(x)dx=\sum_{j=0}^{n-1}f(j)-\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{2}f(n)-\sum_{k=2}^{m}(-1)^{k}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)-R_m
R_m=(-1)^{m+1}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx

を得る。移項して形式を整えると

\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{x=0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}

となる。或いは

\begin{align}\sum_{j=1}^{n-1}f(j)+\frac{1}{2}\left(f(0)+f(n)\right)
&=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=2}^{2m+1}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\
&=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\
\end{align}

となる。

関連記事[編集]

出典[編集]

  1. ^ Springer Online Reference Works: Euler–MacLaurin formula