超幾何級数

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数学において、超幾何級数(ちょうきかきゅうすう、hypergeometric series)は、一般に

_rF_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_s)_n\;n!}z^n

の形式で表される級数である[1]。但し、

\begin{align}
&(x)_0=1\\
&(x)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)\\
\end{align}

ポッホハマー記号である。古典的にはガウスの超幾何関数

F(a,b,c;z)={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n

を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。

収束条件[編集]

超幾何級数_rF_s[a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z]は、r<s+1であれば絶対収束し、r>s+1であれば発散する。r=s+1の場合は、|z|<1であれば絶対収束し、|z|>1であれば発散する。|z|=1の場合は、\sum\real{a_j}<\sum\real{b_j}であれば絶対収束し、\sum\real{a_j}>\sum\real{b_j}であれば発散する。但し、a_j又はb_jが正でない整数k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}である場合は、(a_j)_{n{\ge}k}=0となって{z}<\inftyで収束、或いは(b_j)_{n{\ge}k}=0となってz\ne0で発散する場合がある。

収束条件の証明[編集]

n項をc_nとして

\begin{align}
&_rF_{r-1}\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r-1}\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\\
&c_n=\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_{r-1})_n(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_{r-1})_n\;n!}
\end{align}

項比は

\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(a_1+n)(a_2+n)\dots(a_{r-1}+n)(a_r+n)}{(b_1+n)(b_2+n)\dots(b_{r-1}+n)(1+n)}z=z

であるから、|z|<1であれば絶対収束し、|z|>1であれば発散する。|z|=1の場合は、

\begin{align}
&\frac{a+n}{n}=1+\frac{a}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\
&\frac{n}{b+n}=1-\frac{b}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\
\end{align}

であるから、

\begin{align}
&\begin{align}\frac{c_{n+1}}{c_{n}}
&=\prod_{j=1}^{r}\left(1+\frac{a_j}{n}\right)\cdot\prod_{j=1}^{r-1}\left(1-\frac{b_j}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)+O\left(n^{-2}\right)\\
&=1+\sum_{j=1}^{r}\frac{a_j}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{b_j}{n}-\frac{1}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\
\end{align}\\
&\begin{align}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|^2
&=\left(1+\sum_{j=1}^{r}\frac{\real{a_j}}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{\real{b_j}}{n}-\frac{1}{n}\right)^2+\left(\sum_{j-1}^{r}\frac{\image{a_j}}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{\image{b_j}}{n}\right)^2+O\left(n^{-2}\right)\\
&=1+\frac{2}{n}\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\
\end{align}\\
&\begin{align}&\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right|
&=1-\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\
\end{align}\\
\end{align}

であり、

\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}-1\right)-1=-\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}\right)

である。従って、ラーペの判定法により、\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}<0であれば絶対収束し、\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}>0であれば発散する。

超幾何関数[編集]

超幾何級数で定義される、或いは表示される関数を超幾何関数という。超幾何関数は多くの初等関数特殊関数を包含する。

\begin{align}
&(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-n+1)}{n!}(-z)^n={_1F_0}\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]\\
&e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n={_0F_0}\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};z\right]\\
&{\sin}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
&{\cos}z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}={_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{1}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
&{\log}(1+z)=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-z\right]\\
&{\log}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=2z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}z^{2n}=2z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\
&{\sin}^{-1}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\
&{\tan}^{-1}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};-z^2\right]\\
\end{align}

完全楕円積分

\begin{align}
&K(k)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\
&E(k)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\
\end{align}

正弦積分余弦積分指数積分

\begin{align}
&\operatorname{Si}(z)=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_1F_2}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
&\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)(2n)!}z^{2n}=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
&\operatorname{Ei}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\
\end{align}

オイラー積分表示[編集]

ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される。

F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)

これは

\begin{align}F(a,b,c;z)
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\Beta(a+n,c-a)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}(tz)^n\right)dt\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\
\end{align}

として導かれる。

超幾何定理[編集]

ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示にz=1を代入するとガウスの超幾何定理を得る[2]

\begin{align}F(a,b,c;1)
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\
&=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})\\
\end{align}

となる。更にa=-nを代入するとヴァンデルモンドの恒等式を得る[3]

F(-n,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}

脚注[編集]

参考文献[編集]

関連項目[編集]