指数積分

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数学において、指数積分(exponential integral)は指数関数を含む積分によって定義される関数である。

\mathrm{Ei}(x)=-{\int_{-x}^{\infty}}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt={\int_{-\infty}^{x}}\frac{e^{t}}{t}\,\mathrm dt

である。この被積分関数は原点t=0で発散するが、実関数としての指数積分はコーシーの主値を用いる。

\begin{align}
&\mathrm{Ei}(x)=\lim_{\epsilon\to+0}\left(-\int_{-x}^{-\epsilon}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt-\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\right)\qquad(x>0)\\
&\mathrm{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\qquad(x<0)\\
\end{align}

複素関数としての指数積分は、正の実軸から解析接続する値を用いる場合[1]と負の実軸から解析接続する値を用いる場合[2]とがあるが、本稿においては正の実軸から解析接続する値を用いる。この場合、複素積分としては

\mathrm{Ei}(z)=-\int_{-z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\pm\pi{i}

となる。複素関数としての指数積分は多価であるが、

\mathrm{Ei}(z)=\gamma+\log{z}-\int_{0}^{-z}\frac{1-e^{-t}}{t}\,\mathrm dt

とすれば、多価性にまつわる問題が全て \log{z}\quad に封じられる。これとは別に

E_n(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt

n次の指数積分と呼び、

E_1(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{t}\,\mathrm dt=\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt=-\mathrm{Ei}(-z)\pm\pi{i}

\mathrm{Ei}(z)と記すこともある。

級数展開[編集]

\mathrm{Ei}(z)z=0に真性特異点を持つ。しかし、

\begin{align}\frac{d}{dz}\left(\mathrm{Ei}(z)-\log{z}\right)
&=\frac{e^z}{z}-\frac{1}{z}\\
\end{align}

であるから

\begin{align}\mathrm{Ei}(z)-\log{z}
&=C+\int_{0}^{z}\frac{e^t-1}{t}\,\mathrm dt\\
&=C+\int_{0}^{z}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k-1}}{k!}\,\mathrm dt\\
&=C+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\;k!}\\
\end{align}

である。定義により\mathrm{Ei}(-\infty)=\pm\pi{i}であるから、積分定数の値は

\begin{align}C
&=\lim_{z\to\infty}\mathrm{Ei}(-z)-\log{(-z)}-\int_{0}^{-z}\frac{e^t-1}{t}\,\mathrm dt\\
&=\lim_{z\to-\infty}-\log{z}+\int_{0}^{z}\frac{1-e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\\
&=\lim_{z\to-\infty}\log\frac{z+1}{z}+\int_{0}^{z}\left(\frac{1-e^{-t}}{t}-\frac{1}{t+1}\right)\,\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{t(t+1)}-\frac{e^{-t}}{t}\right)\,\mathrm dt\\
&=\gamma
\end{align}

であり、従って、

\mathrm{Ei}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\;k!}

となる。但し、\gammaオイラーの定数である。

三角積分[編集]

正弦積分(sine integral)は正弦関数を含む積分によって定義される関数である。

\begin{align}
&\mathrm{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm dt\\
&\mathrm{si}(z)=\int_{z}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm dt=\frac{\pi}{2}-\mathrm{Si}(z)\\
\end{align}

余弦積分(cosine integral)は余弦関数を含む積分によって定義される関数である。

\mathrm{Ci}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm dt

複素関数としての余弦積分は多価であるが、

\mathrm{Ci}(z)=\gamma+\log{z}-\int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}\,\mathrm dt

とすれば、多価性にまつわる問題が全て \log{z}\quad に封じられる。

対数積分[編集]

対数積分(logarithmic integal)は対数関数の逆数の積分によって定義される関数である。

\begin{align}
&\mathrm{li}(z)=\mathrm{Ei}(\log{z})=\pm{\pi}i+\int_{0}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dt\\
&\mathrm{Li}(z)=\mathrm{Ei}(\log{z})-\mathrm{Ei}(\log{2})=\int_{2}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dt\\
\end{align}

実関数としての対数積分はコーシーの主値を用いる。

\begin{align}
&\mathrm{li}(x)=\lim_{\epsilon\to+0}\int_{0}^{1-\epsilon}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dt+\int_{1+\epsilon}^{x}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dt\qquad(x>1)\\
\end{align}


近似式[編集]

絶対値が小さいxについては

\mathrm{Ei}(x)\approx\gamma+\ln x

と近似できる。但し、\gammaオイラーの定数である。またxの絶対値が十分に大きければ

\mathrm{Ei}(x)\approx\frac{e^x}{x}\left(1+\frac{1!}{x}+\frac{2!}{x^2}+\frac{3!}{x^3}+\frac{4!}{x^4}+\frac{5!}{x^5}+\frac{6!}{x^6}+\cdots\right)

漸近近似できる。

出典[編集]

  1. ^ Wolfram Mathworld: Exponential Integral
  2. ^ SpringerLink: Integral exponential function