初等関数

初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、以下の一変数関数、及びこれらの関数を有限回合成して得られる合成関数の総称である。

• 代数関数
• 指数関数・対数関数
• 三角関数・逆三角関数

初等関数のうち、代数関数でないものを初等超越関数という。

指数関数によって定義される双曲線関数・逆双曲線関数は初等関数である。

初等関数の微分（導関数）は初等関数である。

初等関数ではない関数

ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない。

初等関数になるとは限らない関数

初等関数の不定積分や初等関数を用いた微分方程式の解などは一般に初等関数にはならない。例えば、次の二つの不定積分

${\begin{aligned}f(x)=\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}},\\g(x)=\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}\end{aligned}}$

は似た形であるにもかかわらず、f (x) は初等関数の範囲で解けて Arcsin x + C となるが、g (x) は初等関数の範囲では解けない。 g (x) は、特殊関数である楕円積分を用いて F(Arcsin x, −1) + C と表示される。

初等関数の逆関数は必ずしも初等関数になるとは限らない（例えばランベルトのW関数）。

初等関数の例

• 定数関数、冪関数、多項式関数、有理関数
• 指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数
• 双曲線関数、逆双曲線関数

参考文献

• 加藤周一 ほか『世界大百科事典』（改訂新版）平凡社、2007年。ISBN 978-4-582-03400-4。 
• 竹之内脩 ほか『スーパーニッポニカ プロフェッショナル』（DVD-ROM版）小学館、2005年。ISBN 978-4-09-906745-8。 

関連項目

• 代数関数
• 超越関数
• 微分ガロア理論
• リッシュのアルゴリズム

外部リンク

• 竹之内脩『初等関数』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Elementary function". MathWorld (英語).