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三角積分(さんかくせきぶん、英語: trigonometric integral)は数学において、三角関数を含む積分によって定義される特殊関数の一つである。
正弦積分 (sine integral) は正弦関数を含む積分によって定義される関数である。
被積分関数は非正規化Sinc関数といい、球ベッセル関数のα=0のときの値に等しい。
余弦積分 (cosine integral) は余弦関数を含む積分によって定義される関数である。
複素関数としての余弦積分は多価であるが、次のように複素対数関数と正則関数の和で表すことができる。
微分積分[編集]
また、Si(z)のz→∞のときの値
はディリクレ積分といい、複素積分などを用いることによって示せる。
級数展開[編集]
ローラン級数
ベッセル級数
超幾何級数
指数積分との関係[編集]
参考文献[編集]
- Abramowitz, Milton [in 英語]; Stegun, Irene Ann [in 英語], eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 5". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 231. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253。Mathar, R.J. (2009). "Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(iπx)·x1/x between 1 and ∞". Appendix B. arXiv:0912.3844 [math.CA]。
- Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). “Section 6.8.2 – Cosine and Sine Integrals”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300
- Sloughter, Dan. “Sine Integral Taylor series proof”. Difference Equations to Differential Equations. 2016年3月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2023年6月1日閲覧。
- Temme, N.M. (2010), “Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/6
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
- http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Integral sine”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/i051650.htm
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Integral cosine”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/i051370.htm