対数積分

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数学において、対数積分(たいすうせきぶん、: logarithmic integral functionli(x) とは、全ての正の実数 x ≠ 1 において次の自然対数 ln を含む定積分によって定義される特殊関数である。

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ただし関数 1/ln tt = 1 において特異点を持つため、上記における x > 1 の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

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性質[編集]

x → ∞ におけるこの関数の発展挙動は、

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対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

ここで π(x)x 以下の素数の個数、Li(x)補正対数積分関数であり、Li(x)オイラーの対数積分とも呼ばれる。

あるいは

である。このようにすると、積分表現が積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また li(x) よりも素数個数関数 π(x) を非常に良く近似する。

関数 li(x)指数積分 Ei(x) との間には、x ≠ 1 を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]