1−2+4−8+…

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1 − 2 + 4 − 8 + ...無限級数の一つで、数学においてその項は連続する2の冪や、項毎に正負記号を交互に繰り返している交項級数である。初項1、公比-2等比数列として特徴付けられる。

\sum_{k=0}^{n} (-2)^k

実数の級数で、無限大発散する級数として、普通には実数の和を持たないとされる。より広く解釈すると、この級数は1/3に収束するとされる。

学説の歴史[編集]

ゴットフリート・ライプニッツは、1673年頃までに正負の発散級数である1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ...を発見した。彼は、左右の項のどちらかで減算することにより、+∞ か-∞に発散される。それ故、どちらの答えも誤りであり、全体としては収束されるべきだと主張した。

「もし2つの無限(+∞と-∞)が許されていなく、2つとも許されているがどちらか一つに決めることができない場合には、その中間(0)を選択するのが自明の理である。そして、全体として有限量に等しくなるのである。」

ライプニッツは、この級数が総和を持つ事を完全に断言しなかったが、メルカトルの手法を用いることにより、⅓ に収束するという仮説を推測した[1] 。ある級数が実際に足し合わせて、和を求めることなしに何らかの有限量と等しくなるようにする姿勢は、18世紀には常識となっていたが、近代数学では明確な区別は作られていなかった[2]

哲学者でもあったクリスティアン・ヴォルフが、1712年半ばにグランディ級数に関するライプニッツの論文を読んだ後[3] 、ヴォルフは1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ...のような発散級数に対して、算術平均の手法でより到達すると彼自身が考えた解答に対して、とても喜んだ。端的に言うと、この級数の部分和を最後から関数として説明すると、(4m + 1)/3(−4n + 1)/3のどちらかが含まれている。これらの値の平均(2m − 2n + 1)/3となるので、極限としてn = 2mになるのであるから、この級数の収束値は⅓になると推測した。

ライプニッツは、彼に対して解を導くための無駄な努力をするのを防いたと直観したが、ヴォルフの発想が興味深いけど多くの理由により説得力がないとライプニッツはヴォルフに返事を書いた。2つの隣り合った部分和の算術平均は、ある特定の値に収束せず、全ての収束値に対して、n = 2mとなる物があれば、n = mではない。一般的に、総和可能な級数の項は0より減少している。1 − 1 + 1 − 1 + ...も同様に、このような級数の極限として説明することができる。ライプニッツはヴォルフに、「彼に自然科学と彼自身において価値のある事を提供するように」、見直す事を忠告した[4]

近代の手法[編集]

幾何級数[編集]

何らかの総和法は、正則性,線型性,安定性という総和法の性質を持っていて、幾何級数の和は以下のように表される。

\sum_{k=0}^\infty a r^k = \frac{a}{1-r}.

a = 1とr = −2の時、その和は⅓となる。

オイラーの総和法[編集]

レオンハルト・オイラーは、1755年に発表した論文で、今日オイラー変換英語版と呼ばれる効率的な手法を発見した。ある級数1 − 2 + 4 − 8 + ...は、½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + ...を変形してできた級数であるという物である。後者の総和が⅓なので、オイラーは1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⅓であると結論づけた[5]。 無限級数に対する彼の考えは、近代の手法を完全に補完していなかった。今日では、1 − 2 + 4 − 8 + ...オイラーの総和法英語版と呼ばれ、その総和は⅓となる[6]

論文からの抜粋

オイラー変換は、まず正の数列を仮定する事から始まる。

a0 = 1,
a1 = 2,
a2 = 4,
a3 = 8, ... .

この数列の差分を取ると、以下のようになり、同じ差分を繰り返す。

Δa0 = a1a0 = 2 − 1 = 1,
Δa1 = a2a1 = 4 − 2 = 2,
Δa2 = a3a2 = 8 − 4 = 4,
Δa3 = a4a3 = 16 − 8 = 8, ...,

従って、もし最初にΔna0 = 1と置き、全てのnで同様の事をやっても、同じ結果になる。オイラー変換は以下の級数になる。

\frac{a_0}{2}-\frac{\Delta a_0}{4}+\frac{\Delta^2 a_0}{8}-\frac{\Delta^3 a_0}{16}+\cdots = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots.

これは通常の公式により、総和が⅓となる収束幾何級数となる。

ボレルの総和法[編集]

ボレルの総和法英語版は、1 − 2 + 4 − 8 + ...が⅓であるとする物である。エミール・ボレル1896年1 − 1 + 1 − 1 + ...にまつわる最初の例として、ボレルの総和法の限定的な公式を紹介した。

脚注[編集]

  1. ^ ライプニッツ pp.205-207; ノブロック pp. 124–125. The quotation is from De progressionibus intervallorum tangentium a vertice, in the original Latin: "Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito."
  2. ^ Ferraro and Panza p.21
  3. ^ Wolff's first reference to the letter published in the Acta Eruditorum appears in a letter written from Halle, Saxony-Anhalt dated 12 June 1712; Gerhardt pp. 143–146.
  4. ^ The quotation is Moore's (pp. 2–3) interpretation; Leibniz's letter is in Gerhardt pp.147-148, dated 13 July 1712 from ハノーファー
  5. ^ オイラー p.234
  6. ^ コレバール p.325を見ること

参考文献[編集]