三角錐数

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n=5 のときの三角錐数である35個の。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。

三角錐数(さんかくすいすう、triangular pyramidal number)は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数(しめんたいすう、tetrahedral number)ともいう。

例: 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)

n 番目の三角錐数 Tn は1から n 番目の三角数 n(n + 1)/2 までのに等しいので

また組み合わせの記号を用いると となる。

三角錐数を小さい順に列記すると

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …(オンライン整数列大辞典の数列 A292

性質[編集]

  • 三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は 1 のみである。
  • 2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。
  • 三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=12+32+52、56=22+42+62)
奇数の時 
偶数の時 
  • 三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。
(奇数…オンライン整数列大辞典の数列 A015219、偶数…オンライン整数列大辞典の数列 A015220)
パスカルの三角形
モナド(単数)の数列 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, 1,…
自然数の数列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, ,…
三角数の数列 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…, ,…
三角錐数の数列 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165,…, ,…

となっている。上にある数列はその一つ下の数列の階差数列である。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]