六十進法

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六十進法(ろくじっしんほう)とは、60(てい)とし、底およびそのを基準にして数を表す方法である。

記数法[編集]

六十進記数法とは、六十を底とする記数法である。真の六十進記数法は60種類の数字を必要とするが、それは多過ぎるため、実際には各桁をそろばん形式で二つに分ける。従って、から五十九までを別のN進法で表記し、六十に至ると区切り符号を付けて桁を繰り上げる方法が採られる。

十進法を適用する例[編集]

本節では、断りがない限り十進法で表記し、10 は十を、60 は六十を指すこととする。

紀元前3000年から紀元前2000年の頃から、シュメールおよびその後を継いだバビロニアでは、六十進法が用いられた。これは、60 が 6(立方体の面の数に由来)と 10(両手の指の数に由来)と 12太陰暦の1年=12ヶ月に由来。3×4)と 20(両手両足の指の総和=20本に由来。5×4)と 30(1ヶ月=30日に由来。2×3×5)の五つの最小公倍数であり、1 から 5 までの全てで割り切れる最小の数であるが故に約数が多く(2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30)、分割に便利だからだとされる。楔形文字には 1 から 59 に対応する数字があった。これは十進法を補助的に用い、横の楔 (<) が 10 を、小さな縦の楔 (V) が 1 を表す。当初は 0 を表す記号はなく空白で表したが、紀元前2世紀頃から空白を表す記号を用いるようになった(単に空白を表すものであり、0 という数を表す数字ではなかった)。内部が六進表記でも十二進表記でも二十進表記でもなく十進表記になった要因の一つに、三十を一の位が 0 で表せて{(50)6=(30)10=(26)12=(1A)20}、六十が二桁にならない{もし六進表記だと三桁で(140)6になってしまう}ことも考えられる。

バビロニア数学の六十進法で特徴的なのは、1未満の数を表す際に、早くから小数の概念が存在した事である。ヨーロッパ世界では1未満の数を表すにはエジプト数学より導入した分数を用いていたが、計算が面倒であるため、天文学で星の運行の計算をする時など、バビロニアの六十進法が導入された。角度を度数法で表す際の1度未満の度数単位や、1時間未満の時間の単位が六十進法であるのは、これに由来する。

バビロニア数字が十進表記であったことから、現在でも六十進法の表記には十進法を補助的に用いる例が一般的になっている。バビロニア数字の転写には、十進法のアラビア数字を用い、小数点セミコロン (;)、桁の区切りにコンマ (,) を用いる[1]。例えば 2,15;30 は

2 × 601 + 15 × 600 + 30 × 60−1 = 135.5

を表す。

これとは別に、時間角度において、それぞれの基準である時間およびを ° で表し、それ以下を 1/60 ごとにプライム (′) を用いて表す方法がある。例えば 1°20′15″ は 1 時間 20 15 または 1 度 20 15 であり、1.3375 時間あるいは度を表す。またヨーロッパ天文学者はプライムの代わりに上付きローマ数字を使うこともあった。例えば 2°51I36II28III21IV

2 × 600 + 51 × 60−1 + 36 × 60−2 + 28 × 60−3 + 21 × 60−4 = 2.86013125⋯

を表す。

この外には、干支も六十進法の一種であり、「甲子」「乙丑」というように十位十二位の組み合わせで表現されている。

十進法以外を適用する例[編集]

十進法以外のN進法でも、六十進法は表現可能である。この場合、桁の底は六十約数に限られる。 従って、六十進法に適用できるN進法は、十進法(6010)の外に、六進法(1406)、十二進法(5012)、二十進法(3020)が該当する。なお、六進法は三十六(1006)で三桁に達するので、三十六から五十九(1356)までは三桁で表記することになるが、(14)6=(10)10なので、(140)6は「十倍の六」を意味する。

十進法とそれ以外のN進法を六十進法に適用すると、位取りや数値は以下のようになる。

六十進法に適用した位取り
数列 六進法を適用 十進法を適用 十二進法を適用 二十進法を適用
整数の桁の循環 6倍→6倍→10/6倍 10倍→6倍→10倍→6倍 12倍→5倍→12倍→5倍 20倍→3倍→20倍→3倍
小数の桁の循環 6/101/101/6 1/61/10→1/6→1/10 1/51/12→1/5→1/12 1/31/20→1/3→1/20
整数第一位 1の位→6の位→36の位 1の位→10の位 1の位→12の位 1の位→20の位
整数第二位 60の位→360の位→2160の位 60の位→600の位 60の位→720の位 60の位→1200の位
整数第三位 3600の位→21600の位→129600の位 3600の位→36000の位 3600の位→43200の位 3600の位→72000の位
小数第一位 6/10の位→1/10の位→1/60の位 1/6の位→1/60の位 1/5の位→1/60の位 1/3の位→1/60の位
小数第二位 1/100の位→1/600の位→1/3600の位 1/360の位→1/3600の位 1/300の位→1/3600の位 1/180の位→1/3600の位

※ この表では、位数を十進法で表記する。

各進法を適用した数値
十進表記の数値 特筆事項 六進法を適用 十進法を適用 十二進法を適用 二十進法を適用
(90)10 1/4周 1,050 1,30 1,26 1,1A
(100)10 (100)10 1,104 1,40 1,34 1,20
(144)10 (100)12 2,020 2,24 2,20 2,14
(180)10 半周、(500)6 3,000 3,00 3,00 3,00
(360)10 1周 10,00 6,00 6,00 6,00
(400)10 (100)20 10,104 6,40 6,34 6,20
(600)10 - 14,000 10,00 A,00 A,00
(720)10 2周、(500)12 20,000 12,00 10,00 C,00
(1200)10 (300)20 32,000 20,00 18,00 10,00
(2015)10 - 53,055 33,35 29,2B 1D,1F
(7774)10 (105)6 - 2 2,013,054 2,09,34 2,09,2A 2,09,1E
1/4 - 0;023 0;15 0;13 0;0F
1/5 - 0;020 0;12 0;10 0;0C
1/6 - 0;014 0;10 0;0A 0;0A
(1/36)10 (0.01)6 0;001,104 0;01,40 0;01,34 0;01,20
(1/100)10 (0.01)10 0;000,100 0;00,36 0;00,30 0;00,1G
(1/144)10 (0.01)12 0;000,041 0;00,25 0;00,21 0;00,15
(1/180)10 1/半周 0;000,032 0;00,20 0;00,18 0;00,10
(1/300)10 - 0;000,020 0;00,12 0;00,10 0;00,0C
(1/360)10 1/1周 0;000,014 0;00,10 0;00,0A 0;00,0A
(1/400)10 (0.01)20 0;000,013 0;00,09 0;00,09 0;00,09

※ この表では、数値を各進法に換算する。

四則演算[編集]

ここでは、六十進法の内部位取りは十進法で表記する。別のN進法に換算する場合には、十進法の10から59までを別のN進法に変換すれば表記できる。なお、割り切れない小数の循環部分は下線で示す。

乗算

整数の例:192の11倍は2112になる。

  • 十進法:192 × 11 = 2112
  • 十二進法:(140)12 × (B)12 = (1280)12
  • 二十進法:(9C)20 × (B)20 = (55C)20
  • 六十進法:3,12 × 11 = 35,12

帯小数の例:6と3/4 の6倍は 40と半分。

  • 十進法:6.75 × 6 = 40.5
  • 十二進法:(6.9)12 × 6 = (34.6)12
  • 二十進法:(6.F)20 × 6 = (20.A)20
  • 六十進法:6;45 × 6 = 40;30
加減算

帯小数の例:1998年7月から1975年11月まで、22年8ヶ月離れている。

  • 十進法:1998+(7/12) - 1975+(11/12) = 22+(8/12)
  • 十二進法:(11A6.7)12 - (1187.B)12 = (1A.8)12
  • 六十進法:33,18;35 - 32,55;55 = 22;40

この場合、1ヶ月に当たる 1/12 や (0.1)12 は 0;05 と表記され、例えば4ヶ月は 0;20 となる。そして、1世代に当たる30の倍数は整数第一位が 30 か 00 と表記されれば30の倍数であり、例えば102年(= 3世代と12年)は 1,42 に、120年(= 4世代)は 2,00 になる。

小数と除算
六十進法の小数と除算
除数 1 1;00
(60)10
1,40
(100)10
2,24
(144)10
6,40
(400)10
2 0;30 30 50 1,12 3,20
3 0;20 20 33;20 48 2,13;20
4 0;15 15 25 36 1,40
5 0;12 12 20 28;48 1,20
6 0;10 10 16;40 24 1,06;40
7 0;08,34,17 8;34,17,08 14;08,34,17 20;08,34,17 56;36,55,23,04
8 0;07,30 7;30 12;30 18 50
9 0;06,40 6;40 11;06,40 16 44;26,40
10 0;06 6 10 14;24 40
11 0;05,27,16,21,49 5;27,16,21,49,05 9;14,27,05… 13;14,27,05… 36;34,17,08…
12 0;05 5 8;20 12 33;20
13 0;04,36,55,23 4;36,55,23,04 7;16,32,41… 11;14,27,05… 30;18,28,13,09…
14 0;04,17,08,34 4;17,08,34 7;17,08,34 10;17,08,34 28;17,08,34
15 0;04 4 6;40 9;36 26;40
16 0;03,45 3;45 6;15 9 25
17 0;03,31,45,52… 3;31,45,52,56… 5;16,56,52… 8;43,42,05,14… 23;31,45,52,56…
18 0;03,20 3;20 5;33,20 8 22;13;20
19 0;03,09,28,25… 3;09,28,25,15… 5;09,47,15… 7;18,44,34… 21;14,27,05…
20 0;03 3 5 7;12 20
六十進法の小数と分数
乗数 1/6 1/8 1/9 1/10
1 0;10 0;07,30 0;06,40 0;06
2 0;20
(1/3)
0;15
(1/4)
0;13,20 0;12(1/5)
3 0;30
(1/2)
0;22,30 0;20(1/3) 0;18
4 0;40
(2/3)
0;30(1/2) 0;26,40 0;24(2/5)
5 0;50 0;37,30 0;33,20 0;30(1/2)
6 1 0;45(3/4) 0;40(2/3) 0;36(3/5)
7 - 0;52,30 0;46,40 0;42
8 - 1 0;53,20 0;48(4/5)
9 - - 1 0;54
10 - - - 1

命数法[編集]

六十進命数法とは、60 を底とする命数法である。

数詞[編集]

自然言語で六十進命数法の数詞を持つものは極めて少ない。シュメールおよびバビロニアでは六十進命数法の数詞が用いられた。内部に十進法を含み、60 を底とするというよりは、100 の代わりに 60 を区切りとするものである。

ニューギニア島のエカリ語[2] (Ekari) でも六十進法の数詞が使われている[3][4]。これは内部に十進法と二十進法を含む複雑な体系である。

単位[編集]

前述の通り、天文学の分野でバビロニアの六十進法が使われた事から、現在に至るも時間や角度の単位にはバビロニアの六十進法が残っている。このように、単位が 1/60 ずつ小さくなる分割法を六十分法ろくじゅうぶんぽうと呼ぶ。六十進法を意味する英語「sexagesimal」やラテン語「sexagesimus」は、本来は「1/60」を意味する語である。日本語には存在しないが、現代のポーランド語やトルコ語には、秒の 1/60(= 1/216000 度)を表す単位の言葉が存在する。

なお、国際単位系ではラジアンのみが定義されており、完全に十進法で表記される。

また、日本の度量衡では、六十進法が用いられた例がある。条里制では 1 = 60 = 360 で、1 歩 = 6 尺であった。天正時代以後は、1/36 = 1 町 = 60 = 360 尺で、1 間 = 6 尺となった。これらは、60 を底とする方法の外に、60 を 6×10の積に分解して、6 や 36 を単位としたり、6 や 36 に 10 を掛けた数値を単位とする方法が採られている(36=6×6、60=6×10、360=6×6×10、3600=6×6×10×10)。

参考文献[編集]

  1. ^ Neugebauer, Otto E. (1955), Astronomical Cuneiform Texts, London: Lund Humphries 
  2. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Ekari”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=ekg 2008年3月12日閲覧。 
  3. ^ Bowers, Nancy (1977), “Kapauku numeration: Reckoning, racism, scholarship, and Melanesian counting systems”, Journal of the Polynesian Society 86 (1): 105-116., オリジナルの2009年3月5日時点によるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20090305190121/http://www.ethnomath.org/resources/bowers1977.pdf 
  4. ^ Lean, Glendon Angove (1992), “10-CYCLE SYSTEMS”, Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania, Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology, オリジナルの2007年9月5日時点によるアーカイブ。, http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch4web/ch4.htm 

関連項目[編集]