パウリ行列

パウリ行列（パウリぎょうれつ, 英: Pauli matrices）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ, 英: Pauli spin matrices）とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。σ（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

添字は数学では 1, 2, 3 が使われるが物理学では x, y, z が使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

$\sigma _{0}=I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

基本的な性質

パウリ行列は次の性質を満たす。

エルミート性・ユニタリ性

パウリ行列は

$\sigma _{k}^{\dagger }=\sigma _{k}\qquad (k=1,2,3)$

を満たすエルミート行列であり、

$\sigma _{k}^{\dagger }\sigma _{k}=\sigma _{k}\sigma _{k}^{\dagger }=I\qquad (k=1,2,3)$

を満たすユニタリー行列でもある。

パウリ行列の積

パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I$

また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。

$\sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}$

すなわち i, j, k = 1,2,3 について

${\begin{cases}\sigma _{i}^{2}&=I=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (i\neq j)\end{cases}}$

が成り立つ。ここで クロネッカーのデルタ δ_ij とエディントンのイプシロン ε_ijk を用いれば、これらをまとめて

$\sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}I+i\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\qquad (i,j,k=1,2,3)\,$

と書くことができる。

交換関係・反交換関係

パウリ行列の交換関係と反交換関係は

${\begin{aligned}[][\sigma _{i},\sigma _{j}]&=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i}=2i\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\end{aligned}}$

となる。

固有値・固有ベクトル

それぞれのパウリ行列は、固有値+1と−1を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、

${\begin{alignedat}{4}&|\sigma _{1,+}\rangle ={}&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&\qquad &|\sigma _{1,-}\rangle ={}&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\\&|\sigma _{2,+}\rangle ={}&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&&|\sigma _{2,-}\rangle ={}&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\\&|\sigma _{3,+}\rangle ={}&&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&&|\sigma _{3,-}\rangle ={}&&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{alignedat}}$

である。

トレース・行列式

パウリ行列 σ_k (k=1,2,3) のトレース (Tr) はゼロとなり、行列式 (det) は−1となる。

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{k})&=0\\\det(\sigma _{k})&=-1\end{aligned}}$

2×2単位行列 σ₀ =I を含めた場合、

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{0})&=2\\\det(\sigma _{0})&=1\end{aligned}}$

である。

単位行列を含めたパウリ行列 σ_μ (μ=0,1,2,3) について、

$\operatorname {Tr} (\sigma _{\mu }\sigma _{\nu })=2\delta _{\mu \nu }\quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)$

が成り立つ。よって、2x2複素行列空間Mat(2,C)において、単位行列を含めたパウリ行列はヒルベルト＝シュミット内積〈A, B〉=Tr(A^†B) について、直交する。

複素行列の展開

2x2複素行列空間Mat(2,C)において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす。よって、任意の2×2複素行列 A は単位行列を含むパウリ行列 σ_μ (μ=0,1,2,3) の線形結合として、次の形で書ける。

$A=s_{0}I+s_{1}\sigma _{1}+s_{2}\sigma _{2}+s_{3}\sigma _{3}=\sum _{\mu =0}^{3}s_{\mu }\sigma _{\mu }$

ここで複素係数 s_μ は

$s_{\mu }={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} (A\sigma _{\mu })\quad (\mu =0,1,2,3)$

で与えられる。

また、任意の2×2エルミート行列 A は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 s_μ は実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

指数関数

パウリ行列の性質

$(\sigma _{i})^{2}=I$

から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式

$e^{ia\sigma _{i}}=\cos {a}\,I+i\sin {a}\,\sigma _{i}\quad (a\in \mathbb {C} )$

を満たす。 さらに実ベクトル a→=(a₁, a₂, a₃)∈R³ とパウリ行列の組 σ→=(σ₁, σ₂, σ₃) に対し、

$e^{i{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\cos {|{\vec {a}}|}\,I+i\sin {|{\vec {a}}|}({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})$

が成り立つ。但し、n→ は

${\vec {n}}={\frac {1}{|{\vec {a}}|}}(a_{1},a_{2},a_{3})$

で与えられる単位ベクトルである。

a→ が実ベクトルの場合、e^{i a→⋅σ→} は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσ_k (k=1, 2, 3) が SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の基底であることによる。

SU(2)の生成子

パウリ行列は行列式を１とする2×2ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の生成子である。パウリ行列に -i/2 を乗じた

$X_{1}=-{\frac {i}{2}}\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&0\\\end{pmatrix}}$

$X_{2}=-{\frac {i}{2}}\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\\\end{pmatrix}}$

$X_{3}=-{\frac {i}{2}}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{2}}&0\\0&{\frac {i}{2}}\\\end{pmatrix}}$

は 𝔰𝔲(2) の基底であり、交換関係

$[X_{1},X_{2}]=X_{3},\,[X_{2},X_{3}]=X_{1},\,[X_{3},X_{1}]=X_{2}$

を満たす。𝔰𝔲(2) はトレースがゼロかつ反エルミート

$\operatorname {Tr} (X)=0$

$X^{\dagger }=-X$

である元 X から構成されるが、X₁, X₂, X₃ はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、

$e^{\sum _{k=1}^{3}t_{k}X_{k}}\quad (t_{1},t_{2},t_{3}\in \mathbb {R} )$

の形で与えることができる。

スピン角運動量

詳細は「スピン角運動量」を参照

量子力学において、パウリ行列はスピン1/2の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 J₁、J₂、J₃ は交換関係

$[J_{1},J_{2}]=i\hbar J_{3},\,[J_{2},J_{3}]=i\hbar J_{1},\,[J_{3},J_{1}]=i\hbar J_{2}$

を満たす。但し、ℏ=h/2π は換算プランク定数である。エディントンのイプシロン ε_ijk を用いれば、この関係式は

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}J_{k}$

と表すことができる。ここで、

$J_{1}^{\frac {1}{2}}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{1}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$

$J_{2}^{\frac {1}{2}}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{2}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}$

$J_{3}^{\frac {1}{2}}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J₁、J₂、J₃ の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は J₃ を選び対角化している。J₃^1/2 の固有値は +ℏ/2, −ℏ/2 であり、スピン1/2の状態を記述する。

ガンマ行列の表現

詳細は「ガンマ行列」を参照

パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 γ^μ (μ=0, 1, 2, 3) は反交換関係

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I$

を満たすものとして、定義される。但し、I は単位元であり、g^μν(μ, ν=0,1,2,3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g=(g^μν)=diag(+1,-1,-1,-1) である。 このとき、2×2単位行列 I₂ とパウリ行列により、4×4行列

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}},\,\gamma ^{j}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{pmatrix}}\quad (j=1,2,3)$

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4×4行列表現である。

$\gamma ^{0}=\sigma _{3}\otimes I_{2},\,\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j}\quad (j=1,2,3)$

順時固有ローレンツ群とSL(2,C)

パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L^↑₊ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 L =O(3, 1) は一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g=(g_μν)=diag(+1,-1,-1,-1) (μ, ν=0, 1, 2, 3) に対し、Λ^TgΛ=g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。

$L=\{\Lambda \in GL(4,\mathbb {R} )|\,\Lambda ^{T}g\Lambda =g\}$

一方、順時固有ローレンツ群 L^↑₊=SO⁺(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から

$L_{+}^{\uparrow }=\{\Lambda \in L|\,\Lambda _{00}\geq 1,\det {\Lambda }=1\}$

として、定義される。ここで4元ベクトル x=(x⁰, x¹, x², x³) に対し、パウリ行列σ₀=I, σ→=(σ₁, σ₂, σ₃)により、2×2行列

$X=\sum _{\mu =0}^{3}\sigma _{\mu }x^{\mu }=x^{0}I+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}={\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}+ix^{2}\\x^{1}-ix^{2}&x^{0}-x^{3}\\\end{pmatrix}},$

を導入する。その行列式は

$\det {X}=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}$

であり、ミンコフスキー内積 〈x, x〉 を与える。ここでSL(2, C) の元 A により、変換

$X'=AXA^{\dagger }$

を定義すると、

$\det {X'}=\det {X}$

であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±Aは同じローレンツ変換 Λ(A)=Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L^↑₊ への2対１の準同型写像を与える。その核は Z₂={±1}であり、群の同型対応

$SL(2,\mathbb {C} )/\mathbb {Z} _{2}\cong L_{+}^{\uparrow }$

が成り立つ。

四元数の表現

パウリ行列によって、四元数の2×2行列表現を与えることができる。

$e_{k}=-i\sigma _{k}\quad (k=1,2,3)$

を導入すると、関係式

$e_{1}^{\,2}=e_{2}^{\,2}=e_{3}^{\,2}=-I$

$e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}=e_{3},\,e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}=e_{1},\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3}=e_{2}$

を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$

$ij=-ji=k,\,jk=-kj=i,\,ki=-ik=j$

と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像

$a1+bi+cj+dk\mapsto aI+be_{1}+ce_{2}+de_{3}\ \quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )$

は和と積と保ち、四元数の2×2行列表現を与える。この像は

$M=\left\{{\begin{pmatrix}a-di&-(c+bi)\\c-bi&a+di\\\end{pmatrix}}|a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\\\end{pmatrix}}|\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \right\}$

であり、H と M はR-多元環として同型である。

参考文献

• 猪木慶治、 川合光 『量子力学I』 講談社 (1994) ISBN 978-4061532090
• 佐藤光 『物理数学特論 群と物理 (パリティ物理学コース)』 丸善（1992） ISBN 978-4621037874
• 平井武、山下博 『表現論入門セミナー ―具体例から最先端にむかって』 遊星社（2003）ISBN 978-4795268982
• J.J Sakurai and Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914

関連項目

• ヴォルフガング・パウリ
• ガンマ行列
• 四元数