パウリ行列

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パウリ行列(パウリぎょうれつ, : Pauli matrices)、パウリのスピン行列(パウリのスピンぎょうれつ, : Pauli spin matrices)とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである[1][2]σシグマ)で表記されることが多い。量子力学スピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された[3]

添字は数学では 1, 2, 3 が使われるが物理学では x, y, z が使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

基本的な性質[編集]

パウリ行列は次の性質を満たす[1][2]

パウリ行列の積[編集]

パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。

また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。

すなわち i, j, k = 1,2,3 について

が成り立つ。ここで クロネッカーのデルタ δijエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて

と書くことができる。

交換関係・反交換関係[編集]

パウリ行列の交換関係反交換関係

となる。

固有値・固有ベクトル[編集]

それぞれのパウリ行列は、固有値+1−1を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、

その他[編集]

パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。

また、パウリ行列 σk (k=1,2,3)トレース (Tr) はゼロとなり、行列式 (det) は−1となる。

σ0 =I(2×2単位行列)を含めた場合、

である。

複素行列の実係数展開[編集]

任意の2×2複素行列はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に複素数である。

また、任意の2×2エルミート行列をパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

指数関数[編集]

パウリ行列の性質

から、その行列指数関数オイラーの公式の類似である関係式

を満たす[4]。 さらに実ベクトル a=(a1, a2, a3)∈R3 とパウリ行列の組 σ=(σ1, σ2, σ3) に対し、

が成り立つ[2]。但し、n

で与えられる単位ベクトルである。

a が実ベクトルの場合、ei a⋅σ は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσk (k=1, 2, 3)SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2)基底であることによる。

SU(2)の生成子[編集]

パウリ行列は行列式を1とする2×2ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の生成子である[1][4][5]。パウリ行列に -i/2 を乗じた

𝔰𝔲(2) の基底であり、交換関係

を満たす。𝔰𝔲(2) はトレースがゼロかつ反エルミート

である元 X から構成されるが、X1, X2, X3 はこの性質を満たす。コンパクト連結な線形リー群である SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、

の形で与えることができる。

スピン角運動量[編集]

量子力学において、パウリ行列はスピン1/2の角運動量演算子の表現に現れる[1][2]。角運動量演算子 J1J2J3 は交換関係

を満たす。但し、ℏ=h/2π換算プランク定数である。エディントンのイプシロン εijk を用いれば、この関係式は

と表すことができる。ここで、

を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J1J2J3 の交換関係ではゼロないため、同時に対角化できないが、この表現は J3 を選び対角化している。J31/2 の固有値は +ℏ/2, −ℏ/2 であり、スピン1/2の状態を記述する。

ガンマ行列の表現[編集]

パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 γμ (μ=0, 1, 2, 3) は反交換関係

を満たすものとして、定義される。但し、I は単位元であり、gμν(μ, ν=0,1,2,3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g=(gμν)=diag(+1,-1,-1,-1) である。 このとき、2×2単位行列 I2 とパウリ行列により、4×4行列

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4×4行列表現である。

順時固有ローレンツ群とSL(2,C)[編集]

パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L+ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる[6][7]ローレンツ群 L =O(3, 1)一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g=(gμν)=diag(+1,-1,-1,-1) (μ, ν=0, 1, 2, 3) に対し、ΛT=g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。

一方、順時固有ローレンツ群 L+=SO+(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から

として、定義される[8]。ここで4元ベクトル x=(x0, x1, x2, x3) に対し、パウリ行列σ0=I, σ=(σ1, σ2, σ3)により、2×2行列

を導入する。その行列式は

であり、ミンコフスキー内積 x, x を与える。ここでSL(2, C) の元 A により、変換

を定義すると、

であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±Aは同じローレンツ変換 Λ(A)=Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L+ への2対1の準同型写像を与える。そのZ2={±1}であり、群の同型対応

が成り立つ。

四元数の表現[編集]

パウリ行列によって、四元数2×2行列表現を与えることができる。

を導入すると、関係式

を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式

と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像

は和と積と保ち、四元数の2×2行列表現を与える。この

であり、HMR-多元環として同型である。

脚注[編集]

  1. ^ a b c d 猪木、河合(1994)、第7章
  2. ^ a b c d J.J Sakurai and Jim Napolitano(2010), chapter 3
  3. ^ Pauli, W. (1927). “Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons”. Zeitschrift für Physik 43 (9): 601–623. doi:10.1007/BF01397326. ISSN 0044-3328. 
  4. ^ a b 平井、山下(2003)、第4章
  5. ^ 佐藤(1992)、第5章
  6. ^ 佐藤(1992)、第8章
  7. ^ 平井、山下(2003)、第5章
  8. ^ 相対論での慣習に従い、添え字は0, 1, 2, 3をとるものとする。

参考文献[編集]

関連項目[編集]