パウリ行列

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パウリ行列(パウリぎょうれつ, Pauli matrices)、パウリのスピン行列(-ぎょうれつ, Pauli spin matrices)とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。シグマ)で表記されることが多い。量子力学スピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。

添字は数学では 1, 2, 3 が使われるが物理学では x, y, z が使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

基本的な性質[編集]

パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。

パウリ行列 トレース (Tr) と行列式 (det) は次のとおり。

また (2×2単位行列)では , である。

固有値・固有ベクトル[編集]

それぞれのパウリ行列は、固有値+1−1を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、

パウリ行列の積・交換関係[編集]

パウリ行列の積については

すなわち について

が成り立つ。これは定義から直接計算すればわかる。これらをまとめて

と書くことができる(ここで クロネッカーのデルタエディントンのイプシロン)。これにより交換関係反交換関係

となる。

複素行列の実係数展開[編集]

任意の2×2複素行列はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に複素数である。

また、任意の2×2エルミート行列をパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

関連項目[編集]