ii

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数学において、虚数単位 i i ii じょう)ii とは、ある可算無限個の実数である。自然対数の底 e円周率 π を用いて、

と書ける(n は任意の整数)。n = 0 としたとき、ii主値

を取る(オンライン整数列大辞典の数列 A49006)。

計算の方法[編集]

まず i偏角は(ラジアンで) π/2 + 2n は任意の整数)であることに注意する。

(ただし log は複素(多価)対数関数)であり、log i

(ただし ln は(実の)自然対数)であるので

と計算される。n = ... , −2, −1, 0, 1, 2, ... とおくと

となる。主値は冒頭の通り n = 0 のときの eπ/2 である。

数学的性質[編集]

ii の取る値はどれも正の実数であるが、e−(π/2 + 2) の整数 n を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に n を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって ii には最大値も最小値も存在しない。

ii の主値 eπ/2

であるから、ゲルフォント=シュナイダーの定理より、超越数であり、無理数である。同様に他の ii の値も超越数である。

なお (−i)i

なので、(−i)i = ii である。

テトレーション 極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。

ただし、WランベルトのW関数である。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

  • Weisstein, Eric W. "i". MathWorld(英語).