チェビシェフ多項式

第一種チェビシェフ多項式（Chebyshev polynomials of the first kind）は以下の方程式で定義される:

$T_{n}(x)=\cos(nt),$$T_{n}(x)=\cos(nt),$ ただし x=cos t

これは三角多項式（trigonometric polynomial）の一例である。

これはcos(kt)をコサインの加法定理を用いてcos(t)の多項式で表したものと見ることができる。

${\begin{aligned}\cos(1t)&=\cos(t)\\\cos(2t)&=\cos(t)\cos(t)-\sin(t)\sin(t)=2(\cos(t))^{2}-1\\\cos(3t)&=4(\cos(t))^{3}-3\cos(t)\\\vdots &\end{aligned}}$${\begin{aligned}\cos(1t)&=\cos(t)\\\cos(2t)&=\cos(t)\cos(t)-\sin(t)\sin(t)=2(\cos(t))^{2}-1\\\cos(3t)&=4(\cos(t))^{3}-3\cos(t)\\\vdots &\end{aligned}}$

従って、以下の式を得る。

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\vdots &\end{aligned}}$${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\vdots &\end{aligned}}$

これらの多項式は次の漸化式に従うことがわかる。 $T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$ （ただしn = 1, 2, …）

第二種チェビシェフ多項式は$U_{n-1}(\cos t)={\frac {\sin(nt)}{\sin(t)}}$$U_{n-1}(\cos t)={\frac {\sin(nt)}{\sin(t)}}$によって定義される。 これは先ほどと同様の議論または$nU_{n-1}(t)=T'_{n}(t)$$nU_{n-1}(t)=T'_{n}(t)$ の関係を用いれば類似した多項式と見ることができる。

従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\\vdots &\end{aligned}}$${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\\vdots &\end{aligned}}$

T と同じ漸化式が U にも成りたち、 $U_{n+1}(x)\;=\;2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)$$U_{n+1}(x)\;=\;2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)$ （ただしn = 1,2,…） となる。

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性質

• 次の母関数により定義される：

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}$$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}$$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}$

• 次の常微分方程式（チェビシェフの微分方程式）を満たす：

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\quad {\text{ for }}y=T_{n}(x)$$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\quad {\text{ for }}y=T_{n}(x)$

$(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\quad {\text{ for }}y=U_{n}(x)$$(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\quad {\text{ for }}y=U_{n}(x)$

• ゲーゲンバウアー多項式の特殊事例である。

関連項目

• ディクソン多項式
• 楕円有理関数