双曲線

双曲線（そうきょくせん、英: hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 ℝ² 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。

この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。

双曲線の方程式[編集]

双曲線の標準形
標準形	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$
漸近線	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$
焦点	$(\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$	$(0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})$
頂点	$(\pm {a},0)$	$(0,\pm {b})$
準線	$x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	$y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
離心率	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}$

双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

(*)

この場合、焦点の座標は

F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)

と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF - PF'| は 2 $a$ となる。原点を双曲線の中心といい、2点(± $a$ , 0) を双曲線の頂点という。

双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 $x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 $e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$ に等しい。

また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0

である。

特に、漸近線が直交している、すなわち $a$ = $b$ であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。

反比例のグラフ $xy = C$ も双曲線の一種である。これは、直角双曲線： $x 2 - y 2 = 2 C$ を原点の回りに $45° = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/4$ だけ回転させた双曲線に等しい。

双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

{\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}

円錐曲線としての双曲線[編集]

双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。

離心率が $e$ であるような円錐曲線を C_$e$ とする。このとき、 $e$ ＞ 1 であれば、 C_$e$ は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が $x$ = - $f$ , 焦点の一つが F( $f$ ,0) となったとする。双曲線の任意の点 P( $x$ , $y$ ) に対し、方程式

e(x-f)=\mathrm {PF}

が成立するが、 $\mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}$ となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、

x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}

さらに $x$ に関して平方完成させることにより、

\left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}

これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動： $X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f$ , Y= $y$ を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。

脚注[編集]

[脚注の使い方]

参考文献[編集]

田端毅、讃岐勝、礒田正美著、礒田正美・Maria G. Bartolini Bussi 編編『曲線の事典　性質・歴史・作図法』共立出版、2009年12月25日。ISBN 978-4-320-01907-2。
中村滋『円錐曲線　歴史とその数理』共立出版〈数学のかんどころ 7〉、2011年12月30日。ISBN 978-4-320-01987-4。

外部リンク[編集]

『双曲線』 - コトバンク
『双曲線』 - 高校数学の美しい物語
双曲線の定義・標準形・焦点・漸近線、双曲線の方程式の決定
双曲線の知識まとめ（焦点・漸近線・方程式・媒介変数表示・接線公式）
双曲線の方程式
デカルトの双曲線作図器１
Weisstein, Eric W. "Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).

動画[編集]