離心率

この項目では、幾何学での離心率について説明しています。天文学での離心率については「軌道離心率」をご覧ください。

異なる離心率 e に沿って描いた円錐曲線図。それらの曲率は離心率とともに減少するが、これらの円錐曲線はいずれも交差しない点に留意すべきである。

離心率（りしんりつ英：Eccentricity ( mathematics ) ）とは、円錐曲線（二次曲線）の特徴を示す数値のひとつである。

定義[編集]

円錐曲線、すなわち円・楕円・放物線・双曲線はいずれも、焦点 F からの距離と、準線 d からの距離の比 e が一定となる点の集合である。この比 e が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 M について、焦点 F からの距離を FM、準線 d からの距離を MM' と表すと

e={\frac {FM}{MM'}}

となる。円の場合は、楕円での準線を無限遠方においた極限とみなして離心率は0とする。

楕円の場合、長径を 2a、短径を 2b とすると焦点同士の距離は $2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ となり

e={\frac {2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{2a}}={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}

である。したがって、楕円形が真円に近いほど離心率は小さな値をとる。

扁平率を $f\,$ とすると、

f={\frac {a-b}{a}}=1-{\frac {b}{a}}

離心率の２乗 $e^{2}$ は、

e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=f(2-f)

である。

$e\,$ は“第一離心率”と称される。また第二離心率 $e^{\prime }\,$ 、第三離心率 $e^{\prime \prime }\,$ ^[1]^[2]も用いられる。

e'={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}},\quad e''={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}}

地球（GRS80 回転楕円体）の離心率は、その定義された扁平率から計算すると、 $e\,$ = 0.081 819 191 042 815 790（近似値）、 $e^{2}\,$ = 0.006 694 380 022 900 788（近似値）である。

^ 第三離心率は $m\,$ と表記されることもある。
^ 古くはオイラーが第三離心率の二乗を地球の子午線弧長の計算に使用している記述が1755年の論文に認められる。またfr:Louis Puissantも1842年の論文で子午線弧長の計算に第三離心率を用いている。

König, R. and Weise, K. H. (1951): Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie, Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
Ганьшин, В. Н. (1967): Геометрия земного эллипсоида, Издательство «Недра», Москва
Puissant, L. (1842): Traité de Géodésie; ou, Exposition des Méthodes Trigonométriques et Astronomiques, applicables à la Mesure de la terre, et à la Construction du Canevas des Cartes Topographiques, 1, Bachelier, Imprimeur-Libraire, Paris, 295-304