離心率

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離心率 e の異なる曲線

離心率(りしんりつ)とは、円錐曲線(二次曲線)の特徴を示す数値のひとつである。

定義[編集]

円錐曲線、すなわち楕円放物線双曲線はいずれも、焦点 F からの距離と、準線 d からの距離の比 e が一定となる点の集合である。この比 e が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 M について、焦点 F からの距離を FM、準線 d からの距離を MM' と表すと

e = \frac{FM}{MM'}

となる。円の場合は、楕円での準線を無限遠方においた極限とみなして離心率は0とする。

離心率と二次曲線の分類[編集]

  • 離心率 = 0 … 真円
  • 0 < 離心率 < 1 … 楕円
  • 離心率 = 1 … 放物線
  • 1 < 離心率 … 双曲線

楕円の離心率[編集]

楕円の場合、長径を 2a、短径を 2b とすると焦点同士の距離は2 \sqrt{a^2 - b^2}となり

e = \frac{2 \sqrt{a^2 - b^2}}{2a} = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}

である。したがって、楕円形が真円に近いほど離心率は小さな値をとる。

扁平率 を f とすると、

f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}

離心率の2乗 e^2は、

e^2 = \frac{a^2-b^2}{a^2} = f(2-f)

である。 回転楕円体である地球の離心率は、その定義された扁平率から、e = 0.081 819 191 042 815 790(近似値)、e^2 = 0.006 694 380 022 900 788(近似値)である。


楕円に限って言えば、e は“第一離心率”と称され、しばしば次のように定義される第二離心率 e' 及び第三離心率 e' ' も用いられる。

e'=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}}, \quad e''=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}

第三離心率は、m と表記されることもある。古くはfr:Louis Puissantm子午線弧長の計算に使用している記述が1842年の論文中に認められる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]