三角測量

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コディアック島における三角測量

三角測量(さんかくそくりょう)は、ある基線の両端にある既知の点から測定したい点への角度をそれぞれ測定することによって、その点の位置を決定する三角法および幾何学を用いた測量方法である。その点までの距離を直接測る三辺測量英語版と対比される。既知の1辺と2か所の角度から、三角形の3番目の頂点として測定点を決定することができる。

三角測量はまた、三角網(さんかくもう)と呼ばれる非常に巨大な三角形群の正確な測量を行うことも指すことがある。これはヴィレブロルト・スネルが1615年から1617年にかけて行った業績に由来している。スネルは、三つの既知の点に対する未知の点の角度を、既知の点からではなく未知の点から測定して、その点の位置を確定する方法(後方交会法)を示した。より規模の大きな三角形を最初に測定することにより、測量誤差を最小化できる。そうすれば、その三角形の内部の点は三角形に対して正確に位置を測定することができる。こうした三角測量法は、1980年代に衛星測位システムが登場するまで、大規模精密測量に用いられてきた。

用途[編集]

測定対象の空間次元と配置を決定するために、光学3次元測量システムは三角測量の方法を利用する。基本的にこうしたシステムは対象物を測定する二つのセンサーで構成されている。二つのうち一つは典型的にはデジタル式のカメラで、もう一方はカメラまたは映写機となっている。各センサーの中心および対象物表面上の点が空間上に三角形を構成する。この三角形において、センサー間の距離が基線bで既知でなければならない。この基線とセンサーに投影される光の角度を決定することで、投影光の交点の3次元座標を三角関数から計算することができる。

二つの角度を測定してある点までの距離を求める方法[編集]

ある点と二つの基準点が為す三角形の辺と角度が測定されていれば、その点の座標および距離はその三角形の辺の長さを計算することで求めることができる。

以下の数式は平坦なユークリッド平面において適用されるものである。これは距離が地球の曲面に比べて有意な長さになってくると不正確になるが、球面三角法を使えばより複雑な計算方法で求めることができる。

計算[編集]

海岸から船までの座標と距離を計算するために三角測量を使うことがある。海岸にいる観測者は、船までの直線と海岸がなす角度αおよびβを測定する。角度を計測した地点間の距離I、あるいは計測した地点の座標AおよびBが既知であれば、正弦定理を利用して船の座標Cあるいは船までの距離dを求めることができる

右の図において、Iの長さを\ellとするなら

 \ell = \frac{d}{\tan \alpha} + \frac{d}{\tan \beta}

ゆえに

d = \ell \, / \, (\tfrac{1}{\tan \alpha} + \tfrac{1}{\tan \beta})

三角関数の公式 \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}および\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \betaを適用すれば、これは

d = \frac{\ell \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}

と等しい。これより、観測点から未知の点までの距離を求めることは容易であり、すべての座標も得られることになる。

歴史[編集]

劉徽による263年頃の、島の高さを測る方法を示した図、1726年の版に含まれているイラスト
ゲンマ・フリシウスは1533年に、地図を作るのに三角測量を使用することを提案した
ラインラント=ヘッセにおける19世紀の三角網

こんにちでは三角測量は、測量航海計量学位置天文学両眼視英語版モデルロケット兵器の照準といった多目的に使用されている。

三角形を利用して距離を測定するのは古代に遡る。紀元前6世紀の古代ギリシアの哲学者タレスは、ピラミッドの影の長さを測り、また同時刻における自分自身の影の長さを測って、自分の身長との比から相似な三角形を使ってピラミッドの高さを測定していた[1]。また崖の上から沖に見える船までの距離を、横方向にある既知の滝までの見通し水平距離を測り、これを崖全体の高さまで拡大することにより測定していた[2]。こうした方法は古代エジプト人にも知られていた。これより1000年ほど古いリンド数学パピルスに出てくる問題57番では、傾きを距離と高さの比で定義しており、今日の勾配の逆数に当たる。傾きと角度は、後のアラブのアリダードの前身である、ギリシア人がディオプトラ英語版と呼ぶ測定棒で測った。この器具を使って離れたところから距離を測定する方法についてのこの時代の詳細な説明は、アレクサンドリアのヘロンによる「ディオプトラ」にあり、これはアラブでは翻訳されて残ったが、ヨーロッパにおいては失われてしまった。中国では、裴秀が正確な地図作りの6原則の5番目として「直角と鋭角を測る」を挙げており、これは正確に距離を測るために必要なことであった[3]。また劉徽は、到達することのできない場所までの高さを求める方法として、上述したような計算方法を示していた[4][5]

ローマ時代の土地測量の専門家、agromensoresと呼ばれる人々には、三角測量が使われていなかったことは明らかである。しかしアラブのイブン・アル=サッファー英語版などによるアストロラーベに関する文献を通じて中世のスペインに導入された[6]アブー・ライハーン・アル・ビールーニーもまた三角測量を利用して地球の大きさを測定したり、さまざまな場所の間の距離を測ったりした[7]。簡素化されたローマの技術は、プロの測量技術者の使うより洗練された技術と共存していたものと思われる。しかしこうした技術がラテン語に翻訳されることは滅多になく、11世紀の測量に関するマニュアルGeomatria incerti auctorisが数少ない例外であった。こうした技術は、ヨーロッパのほかの地域は非常にゆっくりと浸透していったように見える[6]。スペインにおいてこうした技術の認知が広がり使われていたことは、1300年頃から角度を測定するために専用に使われていた中世のヤコブの杖という道具や、現存する最古のものとしては1296年の物がある、精密に海岸を測量した羅針儀海図によって証明されるだろう。

ゲンマ・フリシウスと地図を作るための三角測量[編集]

オランダの地図製作者ゲンマ・フリシウスは、1524年のペトルス・アピアヌス英語版によるCosmographicaの新版への付録という形で、1533年にLibellus de Locorum describendorum ratione(土地を表現する方法に関する冊子)を出し、その中で地図を作るために遠く離れた場所を正確に測定する方法として三角測量を使うことを提案した。これはとても影響が大きく、技術はドイツオーストリア・オランダなどに広がった。天文学者のティコ・ブラーエはスカンジナビアにおいてこの方法を適用し、彼の天文台があるヴェン島の詳細な三角測量を、エーレスンド海峡の両側にある目標物を基準として1579年に完成させ、1584年に島の土地計画を作った[8]イングランドにおいてはこの世紀の中ごろ以降、ウィリアム・カニンガムのCosmographical Glasse(1559年)、ヴァレンティン・リーのTreatise of Measuring All Kinds of Lands(1562年)、ウィリアム・ボーン英語版Rules of Navigation(1571年)、トーマス・ディッグスGeometrical Practise named Pantometria(1571年)、ジョン・ノーデン英語版Surveyor's Dialogue(1607年)など、多くの本でフリシウスの方法が見られるようになった。クリストファー・サクストンも1570年代の彼の地図において特徴となるものを配置するために、粗雑ではあるが三角測量を使った可能性があると示唆されているが、一方で見晴らしの良い点からおおまかな方向感覚をつかんで、そこまでの距離を単に当て推量で決めただけであると反論されてもいる[9]

ヴィレブロルト・スネルと現代の三角網[編集]

現代のシステマティックな三角網の使用は、オランダの数学者ヴィレブロルト・スネルが1615年にアルクマールからベルヘン・オプ・ゾームまでおよそ110 kmを33の三角形を含む四角形の連鎖を利用して測定したことに始まる。この二つの町はほぼ同一子午線上にあって、緯度にして1離れており、この測定から地球の円周長を求めることができた。この業績は1617年の本Eratosthenes Batavus(オランダのエラトステネス)に示されている。スネルは、平面における公式をどのように地球の丸みに対応させて修正するかの方法を計算した。彼はまた、三角形の内側にある点の位置を、その地点において三角形の辺がなす角度から計算する後方交会法を示した。これは、コンパスを使わなければならない頂点の方位を求める方法よりも正確に測定することができる。これにより、まず1次の大規模三角網を最初に測量し、その後2次的な地点を1次網の中で決定していくという考えが生まれた。

スネルの方法は、1669年から1670年にかけてパリ子午線上で緯度1度の長さをパリから北へアミアン近郊のスルドンフランス語版の時計塔まで13の三角形の連鎖により測量したジャン・ピカールに引き継がれた。器具の改良と精度の向上により、ピカールは地球の半径をかなり正確に測定した最初の人物となった。18世紀を通じて有名なカッシーニ家の人間によりこの仕事はさらに進められた。1683年から1718年までの間、ジョヴァンニ・カッシーニとその息子ジャック・カッシーニはパリ子午線をダンケルクからペルピニャンまで測量した。1733年から1740年まで、ジャックとその息子セザール・カッシーニ英語版子午線弧の再測量を含む全国土の最初の三角測量を行い、1745年に正確な原理に基づく初めてのフランスの地図を出版した。

この時点までに三角測量の技術は、地域的な地図作りに対しては十分確立された。しかし他の国が全国土に渡る地図を作るための詳細な三角網の測量を始めるのは18世紀も末になってからであった。イギリス陸地測量部英語版(オードナンス・サーベイ)は1783年にグレートブリテン島の基本となる三角測量を開始したが、完了したのは1853年のことになった。1801年に開始されたインド大三角測量英語版では、エベレストやその他のヒマラヤ山脈の山々を三角測量し地図を作った。ナポレオン帝政下のフランスでは、ジャン・トランショドイツ語版によって1801年にフランスの三角網がドイツのラインラントまで拡大され、1815年以降になってプロイセン王国の将軍カール・フォン・ミュフリンクドイツ語版によって完成された。このころ、有名な数学者カール・フリードリヒ・ガウスは1821年から1825年にかけてハノーファー王国三角測量を委託され、このために未知数より実測値が多い時に、大規模な連立方程式問題のもっとも一致する解を決定する方法として最小二乗法を考えた。

今日、測量のための大規模な三角網は1980年代以来確立した衛星測位システムにおおむね置き換えられている。しかし初期の測量の基準点はなお、1936年から1962年にかけてのグレートブリテン島再三角測量のために造られたコンクリート製三角点や、1816年から1855年にかけてのシュトルーヴェの測地弧の三角測量のために造られた、現在はユネスコの世界遺産に登録されている三角点のように、価値のある歴史遺産として残されている。

関連項目[編集]

脚注[編集]

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  1. ^ Diogenes Laërtius, “Life of Thales”, The Lives and Opinions of Eminent Philosophers, http://www.classicpersuasion.org/pw/diogenes/dlthales.htm 2008年2月22日閲覧。  I, 27
  2. ^ Proclus, In Euclidem
  3. ^ Joseph Needham (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd. pp. 539–540
  4. ^ 劉徽, 『海島算経中国語版
  5. ^ Kurt Vogel (1983; 1997), A Surveying Problem Travels from China to Paris, in Yvonne Dold-Samplonius (ed.), From China to Paris, Proceedings of a conference held July, 1997, Mathematisches Forschungsinstitut, Oberwolfach, Germany. ISBN 3-515-08223-9.
  6. ^ a b Donald Routledge Hill (1984), A History of Engineering in Classical and Medieval Times, London: Croom Helm & La Salle, Illinois: Open Court. ISBN 0-87548-422-0. pp. 119–122
  7. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Biruni.html .
  8. ^ Michael Jones (2004), "Tycho Brahe, Cartography and Landscape in 16th Century Scandinavia", in Hannes Palang (ed), European Rural Landscapes: Persistence and Change in a Globalising Environment, p.210
  9. ^ Martin and Jean Norgate (2003), Saxton's Hampshire: Surveying, University of Portsmouth