ベータ関数

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数学におけるベータ関数(ベータかんすう, : beta function)とは, 特殊関数のひとつである. ベータ関数は, 第一種オイラー積分とも呼ばれる(なお, ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は, 第二種オイラー積分と呼ばれる).

一般化された関数として, セルバーグ積分がある.

定義[編集]

, を満たす複素数 , に対して, ベータ関数は次式で定義される:

性質[編集]

対称性[編集]

ベータ関数は次のような対称性を持つ.

証明[編集]

置換積分による計算を行う. とおくと, であり, また積分区間は から へと変化するから,

したがって, が示された.

関数等式[編集]

ベータ関数は次の関係式を満たす.

積分表示[編集]

変数変換を行うことで, 以下の形にも表示できる. いずれも, 定義域は , である。

ポッホハマーの表示[編集]

リーマン面上の積分路として, 実軸上の 内の点から出発し, を正の向きに, を正の向きに, を負の向きに, を負の向きの順で回って, 元の点に戻るポッホハマーの積分路英語版を取れば, 次のポッホハマーの表示が成り立つ.

ガンマ関数との関係[編集]

ベータ関数は, 次のようにガンマ関数と結び付く.

級数表示[編集]

ただし, 下降階乗冪:

である.

無限乗積表示[編集]

評価[編集]

スターリングの公式より, 複素数, の実部が十分大きな正の値であるとき,

一方, が十分大きく が固定されているとき,

特殊値[編集]

複素数 に対して, 以下が成り立つ.

特に,

非負の整数 , に対して, 以下が成り立つ.

参考文献[編集]

  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

  • {{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
  • ベータ関数』 - コトバンク
  • ベータ関数とは? ~ 性質と公式 ~ - 数理アラカルト
  • ベータ関数とは~定義と性質8つとその証明~ - 数学の景色
  • ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色
  • Weisstein, Eric W. "Beta Function". MathWorld (英語).