ベータ関数

数学におけるベータ関数（ベータかんすう、英: beta function）とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる）。

一般化された関数として、セルバーグ積分がある。

定義

$\Re (x)>0$, $\Re (y)>0$ を満たす複素数 $x$, $y$ に対して、ベータ関数は次式で定義される:

$\mathrm {B} (x,\,y):=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.$

性質

対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

$\mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x).$

証明

置換積分による計算を行う。$u=1-t$ とおくと、${\rm {d}}t=-{\rm {d}}u$ であり、また積分区間は $t\colon 0\to 1$ から $u\colon 1\to 0$ へと変化するから、

${\begin{aligned}\mathrm {B} (x,\,y)&=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t\\&=-\int _{1}^{0}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}t^{y-1}(1-t)^{x-1}\,{\rm {d}}t\\&=\mathrm {B} (y,\,x).\end{aligned}}$

したがって、$\mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x)$ が示された。

関数等式

ベータ関数は次の関係式を満たす。

• $x\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x+1,\,y).$

• $\mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (x+1,\,y)+\mathrm {B} (x,\,y+1).$

• $(x+y)\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x,\,y).$

• $\mathrm {B} (x,\,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right).$

• $\mathrm {B} (x,\,y)\,\mathrm {B} (x+y,\,z)=\mathrm {B} (y,\,z)\,\mathrm {B} (y+z,\,x)=\mathrm {B} (z,\,x)\,\mathrm {B} (z+x,\,y).$

積分表示

変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は $\Re (x)>0$、$\Re (y)>0$ である。

• $\mathrm {B} (x,\,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,{\rm {d}}\theta .$

• $\mathrm {B} (x,\,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t.$

• $\mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{2^{x+y-1}}}\int _{-1}^{1}(1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.$

ポッホハマーの表示

$\log(\zeta (\zeta -1))$ のリーマン面上の積分路として、実軸上の $(0,1)$ 内の点から出発し、$1$ を正の向きに、$0$ を正の向きに、$1$ を負の向きに、$0$ を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

$\left(1-e^{2\pi ix}\right)\left(1-e^{2\pi iy}\right)\mathrm {B} (x,\,y)=\int _{C}\zeta ^{x-1}(1-\zeta )^{y-1}\,{\rm {d}}\zeta .$

ガンマ関数との関係

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

$\mathrm {B} (x,\,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.$

級数表示

$\mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{\underline {n+1}}}{n!(x+n)}}.$

ただし、$x^{\underline {n}}$ は下降階乗冪:

$x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1),$

である。

無限乗積表示

$\mathrm {B} (x,\,y)={\frac {x+y}{xy}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.$

評価

スターリングの公式より、複素数$x$、$y$ の実部が十分大きな正の値であるとき、

$\mathrm {B} (x,\,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}\,y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}}.$

一方、$x$ が十分大きく $y$ が固定されているとき、

$\mathrm {B} (x,\,y)\sim \mathrm {\Gamma } (y)\,x^{-y}.$

特殊値

複素数 $x$ に対して、以下が成り立つ。

• $\mathrm {B} (1,\,x)={\frac {1}{x}}.$
• $\mathrm {B} (x,\,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\qquad (x\notin \mathbb {Z} ).$
• $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right)={\frac {2^{2x-1}\{\Gamma (x)\}^{2}}{\Gamma (2x)}}.$

特に、$\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)=\pi .$

非負の整数 $l$、$m$ に対して、以下が成り立つ。

• $\mathrm {B} (l+1,\,m+1)={\frac {l!\,m!}{(l+m+1)!}}={\frac {1}{(l+m+1){\dbinom {l+m}{m}}}}.$
• $\mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+1\right)={\frac {2^{2m+1}\,(2l)!\,m!\,(l+m)!}{l!\,(2l+2m+1)!}}={\frac {2\,(2l-1)!!\,(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}}.$
• $\mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi \,(2l)!\,(2m)!}{2^{2l+2m}\,l!\,m!\,(l+m)!}}={\frac {\pi \,(2l-1)!!\,(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}}.$

参考文献

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

• オイラー積分
• ガンマ関数
• ガンマ分布
• 二項係数
• 不完全ベータ関数
• ベータ分布

外部リンク

• 『ベータ関数の積分公式』 - 高校数学の美しい物語
• 『ベータ関数』 - コトバンク
• ベータ関数とは？ ～ 性質と公式 ～ - 数理アラカルト
• ベータ関数とは～定義と性質8つとその証明～ - 数学の景色
• ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色
• Weisstein, Eric W. “Beta Function”. mathworld.wolfram.com (英語).