ディリクレの関数

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ディリクレの関数(ディリクレの-かんすう)とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。

ただし、Q有理数全体の成す集合である。 式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、

が成り立つから、(sup∫ を上積分、inf∫ を下積分という)ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。(ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である Qルベーグ測度に関して零集合であることによる)

周期性[編集]

この関数は、任意の有理数aに対して となる。これは有理数全体の集合が加法について閉じていることによる。

また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。

連続関数の極限としての表示[編集]

ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、

と表せることが示されている(したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である)。その方法は次による。

任意の有理数 q を考える。n! q は、十分大きな n に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 r は、いくら n を大きく取っても n! r が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。

ただし、Z は整数全体の成す集合。さてここで、関数

を表示できれば、f(x) = lim[n→∞] F(n!x) となって決着がつく。(F は単独で考えても興味深い関数である。) F は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos2x) は、x が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、

が結論付けられる。従って、

となる訳である。

関連項目[編集]