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# 楕円積分

{\displaystyle {\begin{aligned}F(x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\\E(x,k)&=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}~dt\\\Pi (a;x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{(1-at^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}\end{aligned}}}

## ルジャンドルの標準形

{\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\E(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}~d\theta \\\Pi (a;\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{(1-a\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\end{aligned}}}

## 特定の母数の場合

### ヤコービの標準形

${\displaystyle k=0}$の場合は逆三角関数に、${\displaystyle k=1}$の場合は逆双曲線関数になる[2]

{\displaystyle {\begin{aligned}F(x,0)&=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}=\int _{0}^{\sin ^{-1}x}{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}(\sin \theta )'d\theta =\sin ^{-1}x\\F(x,1)&=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{1-t^{2}}}dt}=\int _{0}^{\tanh ^{-1}x}{\frac {1}{1-\tanh ^{2}\theta }}(\tanh \theta )'d\theta =\tanh ^{-1}x\\E(x,0)&=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}=F(x,0)=\sin ^{-1}x\\E(x,1)&=\int _{0}^{x}{dt}=x\end{aligned}}}

### ルジャンドルの標準形

{\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,0)&=E(\varphi ,0)=\varphi \\F(\varphi ,1)&=\sin \varphi \\E(\varphi ,1)&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi \end{aligned}}}

ただし、${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi }$は逆グーデルマン関数である。また特に${\displaystyle a=k^{2}}$のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、

${\displaystyle \Pi (k^{2};\varphi ,k)={\frac {1}{1-k^{2}}}\left\{E(\varphi ,k)-{\frac {k^{2}\sin 2\varphi }{2{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right\}={\frac {1}{1-k^{2}}}\left\{E(\varphi ,k)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,k)\right\}}$

となる。

## 第一種完全楕円積分

${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta }$

${\displaystyle k^{2}\sin ^{2}\theta }$テイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{-{\frac {1}{2}}}}d\theta \\&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\frac {(k^{2}\sin ^{2}\theta )^{n}}{n!}}}\right)}d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\\\end{aligned}}}

となる。ただし、${\displaystyle (-1)!!=1}$[4]と定義する。

## 第二種完全楕円積分

${\displaystyle E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta }$

${\displaystyle k^{2}\sin ^{2}\theta }$のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

{\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {1}{2}}}d\theta \\&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)2^{n}}}{\frac {(k^{2}\sin ^{2}\theta )^{n}}{n!}}}\right)}d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}}\\\end{aligned}}}

となる。ただし、${\displaystyle (-1)!!=1}$と定義する。

## ルジャンドルの関係式

${\displaystyle K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$

## ランデン変換とガウス変換

${\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(1+k\right)^{2}\sin ^{2}\alpha +\left({\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\alpha }}-{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\right)^{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}$

${\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {1}{1+k}}F\left({\frac {(1+k)\sin \alpha }{1+k\sin ^{2}\alpha }},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}$

## 楕円積分の応用

### 楕円の弧長

{\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int {ds}=\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int {\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {1+\left(\mp {\frac {cx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {\frac {1-x^{2}+c^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx\end{aligned}}}

となる。離心率${\displaystyle k={\sqrt {1-c^{2}}}}$を用いれば、上式は、

${\displaystyle L=\int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx}$

となり、第二種楕円積分が現れる。 したがって、楕円の円周上で${\displaystyle x}$座標が${\displaystyle 0}$の点から${\displaystyle x}$座標が${\displaystyle x}$の点までの弧長は${\displaystyle L(x)=E(x,k)}$となる。 ここで${\displaystyle k=0}$とすれば楕円は真円になり、弧長は${\displaystyle L(x)=E(x,0)=\sin ^{-1}{x}}$となる（ここでは${\displaystyle \sin }$${\displaystyle x}$軸の方向になっていることに注意すること。）。

## 脚注

1. ^ ルジャンドルの標準形のφとヤコービの標準形のxとの間には、${\displaystyle \sin {\varphi }=x}$の関係がある。詳しくは置換積分を参照。 実際に置換積分を行う際には、${\displaystyle t=\sin {\theta }}$より${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}=\cos {\theta }}$${\displaystyle {\sqrt {1-t^{2}}}={\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta }}}=\cos {\theta }}$となり、${\displaystyle {\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}=d\theta }$と変形されることに留意せよ。
2. ^ 第二種楕円積分では、k=1と置くと双曲線関数でもない一次式のxとなる。
3. ^ ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。 ${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {1}{2}},k\right)=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$
4. ^ 詳しくは二重階乗の記事を参照。
5. ^ ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。 ${\displaystyle E(k)=E\left({\frac {1}{2}},k\right)=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}~dt}$

## 参考文献

• 森口繁一・宇田川銈久・一松信『岩波 数学公式I 微分積分・平面曲線』（新装版）岩波書店、1987年、140-151頁。ISBN 978-4000055079
• 竹内端三「楕円函数論」岩波全書(1936年5月15日）、ISBN 978-4-000213271.
• Cody, W. J.: "Chebyshev approximations for the elliptic integrals K and E", Math. Comp., vol.19, pp.105-112 (1965).
• Roland Bulirsch: "Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions", Numer.Math.,vol.7, pp.78–90 (1965).
• Toshio Fukushima: "Fast computation of complete elliptic integrals and Jacobian elliptic functions", Celest Mech Dyn Astr, vol.105, pp.305328 (2009).
• Fredrik Johansson: "Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic Integrals and Modular Forms" (2018).