ウォリスの公式

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数学において、ウォリスの公式(Wallis' formula)とは、ウォリス積分(Wallis' integral)、あるいはウォリス積(Wallis' product)の公式をいう[1]

ウォリス積分[編集]

ウォリス積分は三角関数の冪乗の定積分である。

\begin{align}
&\int_0^{\pi/2}{\cos^{2n}\theta}d\theta=\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta=\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&\int_0^{\pi/2}{\cos^{2n+1}\theta}d\theta=\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n+1}\theta}d\theta=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
\end{align}

ウォリス積分の導出[編集]

積分をI_nとすると

\begin{align}I_n
&=\int_0^{\pi/2}{\sin^{n}\theta}\;d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}{(-\cos\theta)'\sin^{n-1}\theta}\;d\theta\\
&=\left[-\cos\theta\sin^{n-1}\theta\right]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}{\cos^2\theta\sin^{n-2}\theta}\;d\theta\\
&=(n-1)\int_0^{\pi/2}{(1-\sin^2\theta)\sin^{n-2}\theta}\;d\theta\\
&=(n-1)(I_{n-2}-I_n)\\
\end{align}

である。これにより、漸化式

I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}

を得て、

\begin{align}
&I_{2n}=\left(\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2n-1-2k}{2n-2k}\right)I_0=\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&I_{2n+1}=\left(\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2n-2k}{2n+1-2k}\right)I_1=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
\end{align}

となる。

ウォリス積[編集]

ウォリス積はウォリス積分から導かれる無限乗積である。

\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{\pi}{2}

ウォリス積の導出[編集]

0\le\theta\le\pi/2において0\le\sin\theta\le1であるから

\sin^{2n+2}\theta\le\sin^{2n+1}\theta\le\sin^{2n}\theta

である。従って、

\begin{align}
&\left(\int_{0}^{\pi/2}{\sin^{2n+2}\theta}d\theta\right)\le\left(\int_{0}^{\pi/2}{\sin^{2n+1}\theta}d\theta\right)\le\left(\int_{0}^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta\right)\\
&\frac{\pi}{2}\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\le\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\le\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&\frac{\pi}{2}\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n-1)!!(2n+1)!!}\le\frac{\pi}{2}\\
\end{align}

でなければならない。しかし、

\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+2}=1

であるから、

\prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)^2}{(2k+1)(2k-1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n-1)!!(2n+1)!!}=\frac{\pi}{2}

である。ウォリス積は三角関数の無限乗積展開からも導かれる。

\frac{\pi{z}}{\sin\pi{z}}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{n^2}{n^2-z^2}\right)}

z=\textstyle\frac{1}{2}を代入すると

\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}

を得る。

関連記事[編集]

出典[編集]

  1. ^ Wolfram Mathworld: Wallis Formula