三次関数

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三次関数のグラフ。図は\begin{align} y&=\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}x-2\\  &=\frac{1}{4}(x+4)(x+1)(x-2)\end{align}
のグラフ。

三次関数(さんじかんすう)はy=ax^3 + bx^2 + cx + d(a \ne 0)によって表される関数である。

三次関数は変曲点を1つ持つ。三次関数の変曲点の座標は\left(-\frac{b}{3a},\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^2}\right)である。

b^2 - 3ac≦0のとき、三次関数は極大値極小値を持たない。
b^2 - 3ac>0のとき、三次関数は極大値と極小値を持つ。このとき極小値のx座標は\frac{- b + \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}、極大値のx座標は\frac{- b - \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}となる。

また三次関数が極大値と極小値を持つとき、変曲点は極大値と極小値の中点となる。極大値と「極小値における接線と三次関数自身との交点」、極大値と変曲点、極小値と変曲点、極小値と「極大値における接線と三次関数自身との交点」、のx座標の差はそれぞれ等しい。極大値と変曲点、極小値と変曲点、「極小値における接線と三次関数自身との交点」と変曲点、「極大値における接線と三次関数自身との交点」と変曲点、のy座標の差はそれぞれ等しい。

判別式[編集]

判別式D = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 \, である。

D>0のとき、x軸との交点を3つ持つ。
D=0のとき、x軸との交点を2つ(二重点が1つ、一重点が1つ)持つ場合と、x軸との交点を1つ(三重点が1つ)持つ場合がある。
D<0のとき、x軸との交点を1つ持つ。

関連項目[編集]