フィボナッチ数列の逆数和

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数学において、フィボナッチ数列の逆数和(フィボナッチすうれつのぎゃくすうわ、: reciprocal Fibonacci constant)、またはψは、フィボナッチ数列逆数総和として定義される数学定数である。

この和の連続した項のは、黄金比逆数に近づく。従って、ダランベールの収束判定法により、この和は収束する。

ψの値は、おおよそで以下のようになると知られている[1]

ビル・ゴスパー英語版は、この値の高速な数値近似のためのアルゴリズムを得た。フィボナッチ数列の逆数和自身はk個の項に対しO(k)桁の精度であるが、ゴスパーのSeries accelerationではk個の項に対しO(k 2)桁の精度である[2]

ψ無理数であると知られている。これはポール・エルデシュロナルド・グラハムLeonard Carlitzなどにより予想され、1989年、Richard André-Jeanninによって証明された[3]。 フィボナッチ数列の逆数和が超越数(代数的数でない数)であるかは、分かっていない。

連分数展開(数列表記)は、

のようになる[4]

脚注[編集]

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  1. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A079586
  2. ^ Gosper, William R. (1974), Acceleration of Series, Artificial Intelligence Memo #304, Artificial Intelligence Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, p. 66, https://hdl.handle.net/1721.1/6088 
  3. ^ André-Jeannin, Richard (1989), “Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 308 (19): 539–541, MR0999451 
  4. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A079587

関連項目[編集]

外部リンク[編集]