コラッツの問題

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コラッツマップ下の軌道を有向グラフにしたもの。コラッツ予想は、すべてのパスが1に至るということと同値である。

コラッツの問題(コラッツのもんだい、Collatz problem)は、数論の未解決問題のひとつである。1937年にローター・コラッツが問題を提示した。問題の結論の予想を指してコラッツの予想と言う。固有名詞に依拠しない表現としては3n+1問題とも言われ、初期にこの問題に取り組んだ研究者の名を冠して、角谷(かくたに)の問題米田の予想ウラムの予想、他にはSyracuse問題などとも呼ばれる。数学者ポール・エルデシュは「数学はまだこの種の問題に対する用意ができていない」と述べ、解決した人に500ドルを提供すると申し出た。 ジェフリー・ラガリアスは2010年に、コラッツの予想は「非常に難しい問題であり、現代の数学では完全に手が届かない」と述べた[1]

コンピュータを用いた計算により、268 までには反例がないことが確かめられている[2]。 また、2011年度大学入試センター試験数学IIB第6問に題材として取り上げられた[3]

問題の概要[編集]

1から9999までの数に対して、1にいたるまでのステップ数をグラフにしたもの。
1から108までの、1に至るまでのステップ数のヒストグラム。x軸がステップ数で、頻度がy軸である。
2から107までの、1にいたるまでのステップ数をグラフにしたもの。
Stopping Time: Graphed 250, 1000, 4000, 20000, 100000, 500000
ステップ数: 250, 1000, 4000, 20000, 100000, 500000までをそれぞれグラフ化

コラッツの問題は、「任意の正の整数 n をとり、

  • n偶数の場合、n を 2 で割る
  • n奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す

という操作を繰り返すと、どうなるか」というものである。「どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず 1 に到達する(そして 1→4→2→1 というループに入る)」という主張が、コラッツの予想である。

以下、もう少し詳しく定義する。

関数 f を次のように定義する。

ここで任意の正の整数から開始し、上記の演算を繰り返し実行することにより数列を作る。各ステップでの結果は次ステップの関数 f(n) の変数 n に代入される。数式で表現すると、以下のようになる:

このとき「初期値のとり方にかかわりなく、この操作を繰り返すと最終的に 1 に到達する」という主張が、コラッツの予想である。形式的に書くと、以下のようになる。

もしこの予想が誤りであるなら、1 を含まない数列を生成する初期値が存在するということになる。そのような数列は、1 を含まない繰り返し数列に突入するか、もしくは際限なく増大していくかのいずれかである。そのような数列はいまだ見つかっていない。

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例として、初期値を 6 にすると、6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 という、1に到達する数列を得る。このような数列をコラッツ数列と呼ぶ。

初期値を 11 とすると、11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 となり、1 に到達するまでにより長くかかる。

初期値として 27 を選ぶと、以下のように数列は111ステップにまで及び、その値は最終的に 1 に到達する前に 9232 にまで増大する。

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Collatz5.svg

コラッツの予想を証明するにあたっては、 初期値を奇数に限定してもかまわない。なぜなら初期値が偶数の場合でも、コラッツの漸化式に従えば因数の 2 は最終的にすべて除去され、奇数になるからである。

ビジュアル化[編集]

この予想を支持する論拠[編集]

コラッツの予想は未解決だが、この問題を研究した多くの数学者は正しいだろうと考えている。そう予想される理由を以下に挙げる。

経験的証拠[編集]

この予想は、初期値が268 ≈ 2.95×1020までは成り立つことがコンピュータで確認されている[4]。この数値は、コンピュータのスピードアップとテスト技術の向上に伴って更新され続けている。

このコンピューターでの検証は、予想が真真であるという証拠ではありません。ポリア予想メルテンス予想スキューズ数の場合に示されているように、非常に大きな数で予想の反例が見つかることがあります。

ヒューリスティクス[編集]

厳密な議論ではないヒューリスティクスであるが、ステップを経るごとに数の大きさがどのようになるかを考察しよう。今、n が偶数ならば、次のステップで大きさは半分になる。また、n が奇数ならば、次のステップで 3n + 1 になるが、これは必ず偶数であるから、その次に (3n + 1)/2 になることまでは確定している。ここまでを一つのステップと解釈すれば、このステップで大きさは約 3/2 倍になる。1回のステップを経た後に偶数になるか、奇数になるかが半々であると考えると、1/2 の確率で数の大きさは 1/2 倍になり、残る 1/2 の確率で数の大きさは 3/2 倍になる。よって、1回のステップで、数の大きさは (1/2)1/2 × (3/2)1/2 倍になると期待される。これは 1 より小さな値であるから、ステップを経るごとに「確率的に」小さくなると考えられる。この意味で、いつかは 1 に到達するとの予想は確からしい。

確率論の言葉を用いるとこれは無限のステップ数を取る極限で1に平均収束するということであり、厳密には予想の確からしさとは無関係である。ストレンマイヤーは1957年にマルティンゲールの理論を用いて上記の議論を精密化し、任意のコロモゴルフ測度の下で有限ステップ内に数の大きさが1に概収束(確率1で収束)することを証明した。

コラッツの数列を計算するプログラミング例[編集]

以下は擬似コードによるプログラミング例である。与えられた初期値に対するコラッツ数列を計算できる。

def collatz(n)
  show n
  if n.odd? and n > 1
    collatz(3n + 1)
  else if n.even?
    collatz(n / 2)

このプログラムは 1, 4, 2, 1 の無限サイクルを省くために 1 に到達すると停止するようになっている。もしコラッツ予想が正しければ、いかなる正の整数の初期値を与えても停止する。

この問題を、初期のコンピュータで計算することで研究したのがスタニスワフ・ウラムであった。

サイクル[編集]

このパートではショートカット形式で考える。

サイクルはすべて異なる整数による数列で、とする。ここで、, , ..., and である。既知のサイクルは長さ2ので、自明なサイクルと呼ばれる。

サイクルの長さ[編集]

自明ではないサイクルの長さは少なくとも である[5]。実際、 Eliahou (1993) は、サイクルの周期の長さが、

であることを示した。ここでは非負整数で、 かつ である。この結果は、連分数展開に基づく。最新の検証では、268までコラッツ予想が正しいと判明しているので、同様の論法によりサイクルの長さの下限は114208327604 (“ショートカット”無しなら 186265759595)であると言える。この下限は、上記の式を満たしている。である。

k-サイクル[編集]

k-サイクルとは、2k個に分割できるサイクルである:奇数からなる単調増加数列k個と、偶数からなる単調減少数列k個からなる。例えばサイクルが、奇数による単調増加数列1個と、偶数による単調減少数列1個で構成されたなら、1-cycleと呼ぶ[6]。Steiner (1977)は、1-cycleが、自明なサイクル(1;2)のみであることを証明した[7]。Simons (2004) は、Steinerの方法を使って、2-cycleが存在しないことを証明した[8]。Simons & de Weger (2005)はこの証明を68-cyclesまで拡張しました:k = 68まで、k-cycleは存在しない[6]。68を超えたところでは、この方法はサイクルの要素の上限を与える:例えば、75-cycleが存在したとすると、その中の要素の少なくとも1つは2385×250より小さいといえる[6]。そのため、コンピュータによる検証が進んでいくと、より大きなサイクルが除外されていく。より直観的にいうと、多くとも68以下の数列(各数列は単調増加数列と単調減少数列の連結)をつなげて作ったサイクルを探す必要はない。

コラッツ予想の他の形式[編集]

ボトムアップ方式[編集]

ボトムアップ方式で作成した21ステップまでのコラッツグラフ 。グラフには、軌道長が21以下のすべての数値が含まれている。

別のアプローチをとってみる:ボトムアップ方式でいわゆるコラッツグラフを作成してみる。 コラッツグラフは、以下のように操作を逆にして定義する。

したがって、すべての正の整数が最終的に1になることを証明する代わりに、1がすべての正の整数に逆方向につながることを証明すればよい。 任意の整数n, n ≡ 1 (mod 2)3n + 1 ≡ 4 (mod 6) である。ゆえに、 n − 1/3 ≡ 1 (mod 2)n ≡ 4 (mod 6)である。 推測的に、この逆関係は、1–2–4ループ(この記事の問題の説明のセクションで定義されている変更されていない関数fの4–2–1ループの逆)を除いてツリーを形成する。

操作3n + 1を、ショートカット操作3n + 1/2に置き換えた場合は、 コラッツグラフの定義は以下のようになる。

任意の整数n, n ≡ 1 (mod 2)3n + 1/2 ≡ 2 (mod 3)。ゆえに、 2n − 1/3 ≡ 1 (mod 2)n ≡ 2 (mod 3)である 。推測的に、この逆関係は、1–2ループ(上記のように修正された関数f(n)の1–2ループの逆)を除いてツリーを形成する。

パリティシーケンス[編集]

本節では、コラッツ関数を少し変形したものを考える:

nが奇数の場合には3n + 1が必ず偶数になるので上記のようにできる。

P(…)をパリティ数とする。P(2n) = 0 で、P(2n + 1) = 1 である。整数nのパリティシーケンス(もしくは、パリティベクトル)を、pi = P(ai), ただしa0 = n, and ai+1 = f(ai) と定義する。 (3n + 1)/2 または n/2、どちらの操作が適用されるかは、パリティに依存する。パリティシーケンスは操作のシーケンスに等しい。 f(n)に対してこの形式を適用すると、2つの整数mnのパリティシーケンスは、mnが2kを法として合同の場合のみ、最初のk項で一致するこが示される。これは、すべての整数がパリティシーケンスにより一意に識別されること意味し、さらに複数のコラッツ数列がある場合、対応するパリティシーケンスが異なる必要があることを意味します[9][10]

n=a·2k + b に関数 fk 回適用すると、a·3c + dとなる。ここでdbに関数fk回適用した結果で、cはその過程で3倍の演算を行った(増加した)回数である。(例えば、a·25 + 1 では、1が2,1,2,1と変化し最後に2になるので、3回の増加がある。よって結果はa·33+2 である。a·22 + 1 では、1が2に増加しその後1になるので、結果はa·3 + 1 となる。) bが2k - 1の場合には、 k回の増加があり、結果は2·a·3k - 1となる。aに掛かる係数は、aには無関係で、bにのみ依存する。これにより、特定の形式の数値が特定の反復回数の後、常により小さい数値になることを予測できます。例えば、4a + 1 は、2回のf操作により3a + 1となり、16a + 3は4回のf操作により9·a + 2となる。これらの小さくなった数が1へとつながるかどうかは、 aの値に依存する。


整数、有理数、複素数一般への変数nの拡張による問題の拡張[編集]

すべての整数への拡張[編集]

コラッツ予想の最初の拡張は、正の整数だけでなく、すべての整数に広げることである。他から入れないサイクル0→0を除いて、合計4つの既知のサイクルがあり、すべての非ゼロ整数は最終的にこれらいずれかのサイクルに入るように見える。以下にこれらのサイクルのリストを示す。リストは正のnのよく知られたサイクルも含めている 。

奇数の値は太字で示されている。各サイクルは、最小絶対値(常に奇数)のメンバーを先頭にしている。

サイクル 奇数値のサイクル長 全サイクル長
1 → 4 → 2 → 1 ... 1 3
−1 → −2 → −1 ... 1 2
−5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5 ... 2 5
−17 → −50 → −25 → −74 → −37 → −110 → −55 → −164 → −82 → −41 → −122 → −61 → −182 → −91 → −272 → −136 → −68 → −34 → −17 ... 7 18

一般化されたコラッツの予想は、fによる反復の下で、すべての整数が最終的に上記の4つのサイクルの1つまたは0→0のサイクルに入るという主張である。0→0サイクルは、多くの場合「自明」と見なされる。完全を期すためにのみ含まれている。

奇数分母の有理数への拡張[編集]

コラッツマップは、通分したときに奇数の分母を持つ(正または負の)有理数に拡張できる。数値は、分子が奇数か偶数かに応じて、「奇数」または「偶数」と見なす。その場合、マップの式は、定義域が整数の場合とまったく同じとする。「偶数」のような有理数は2で除算する。「奇数」のような有理数には3を掛けてから、1を足す。密接に関連する事実は、コラッツマップが2進数のリングに拡張されていることです。これには、サブリングとして奇数の分母を持つ有理数のリングが含まれています。

コラッツマップの「ショートカット」定義を使用する場合、周期的なパリティシーケンスは1つの有理数によって生成されることが知られている[11]。逆に、分母が奇数のすべての有理数は、最終的には周期的なパリティシーケンスを持っていると推測される(周期性予想[9])。

パリティサイクル長がnで、奇数を正確にm個含むとし、そのインデックスをk0 < … < km−1とすると、そのパリティサイクルを生成する以下の有理数が決定する:

(1)

たとえば、パリティサイクル (1 0 1 1 0 0 1) は、長さが7で、インデックス0、2、3、および6に4つの奇数項がある。これは、下記の分数によって繰り返し生成される。

これは、下記の有理数のサイクルとなる。

.

(1 0 1 1 0 0 1)の巡回置換は、上記の分数の1つに関連付けられます。たとえば、サイクル(0 1 1 0 0 1 1)は以下の分数によって生成されます:

.

1対1の対応にするために、パリティサイクルは既約である必要があります。つまり、同一のサブサイクルに分割できない必要があります。例えば、パリティサイクル(1 1 0 0 1 1 0 0)とそのサブサイクル(1 1 0 0)は同じ分数5/7に関連付けられています。

コラッツ予想の妥当性を仮定すると、(1 0)(0 1)が正の整数(それぞれ1と2)によって生成される唯一のパリティサイクルであることを意味します。

有理数の奇数の分母dが3の倍数でない場合、シーケンスはすべて同じ分母を持ち、分子のシーケンスは、コラッツ関数の「3n + d」一般化を適用することによって取得できます。

複素数への拡張[編集]

実数拡張したコラッツマップ上の数列10-5-8-4-2-1-2-1-2-1-...のCobweb plot。 ("3n + 1" を "3n + 1/2"に最適化している。)

コラッツマップは、滑らかな実数および複素数マップを、整数に限定したものと見なすことができます。

上で定義された標準コラッツマップが、操作3n + 1を一般的な代替の「ショートカット」操作3n + 1/2に置き換えることによって最適化されている場合、それは以下の滑らかな実数と複素数のマップを整数へ限定したものと見なすことができます。

実数直線付近のコラッツマップ フラクタル

実数直線上の数列は、Chamberlandによって研究されました[12]。彼は、無限に多くの不動点があること、軌道が単調に発散するものがあることを発見し、予想は実数には当てはまらないことを示しました。彼はまた、魅力的なサイクルが少なくとも一個あることを示した:1.1925→2.1386。

複素平面では、Letherman、Schleicher、およびWood(1999)によって調査されました[13]。図の青で見られるように、平面のほとんどの点は無限大に発散します。発散領域と非発散領域の境界は、「コラッツフラクタル」と呼ばれるフラクタルパターンを示しています。

検証計算の最適化[編集]

時間と空間のトレードオフ[編集]

上記の パリティシーケンス により、コラッツ数列の計算の高速化が可能である。

(パリティシーケンス節のf関数を使ったとして)kステップ先にジャンプする方法ために、まず現在の数値を2つに分割します:b(2進数表記で下位kビット)と、a(残りの上位ビット)。kステップをジャンプした結果は以下になる:

f k(a 2k + b) = a 3c(b) + d(b).

c(もしくは3c)とd配列は、kビットの数すべてについて事前計算しておく。d(b)はbf関数をk回行った数で、c(b)はその間に登場した奇数の数である[14]。例えばk=5なら5ステップのジャンプが可能で、そのために下位5ビットを分割して、下記配列を使う:

c(0..31) = {0,3,2,2,2,2,2,4,1,4,1,3,2,2,3,4,1,2,3,3,1,1,3,3,2,3,2,4,3,3,4,5}
d(0..31) = {0,2,1,1,2,2,2,20,1,26,1,10,4,4,13,40,2,5,17,17,2,2,20,20,8,22,8,71,26,26,80,242}

これは、2k個の事前計算とストレージが要求される。これにより計算速度がk倍高速化出来るが、時間と空間のトレードオフである。

Modular restrictions[編集]

コラッツ予想の反例を探すにあたって、上記の事前計算を使うと加速させることができる。Tomás Oliveira e Silvaは、コラッツ予想の検証に用いた。

もし、与えられた bk で、不等式

f k(a 2k + b) = a 3c(b) + d(b) < a 2k + b

が成り立ったとすると、すべての a についても成立する。そうすると、最初の反例(存在するとして)は、 2kを法としてbと合同ではないと言える[15]

例えば、最初の反例は必ず奇数である。なぜならばf(2n) = nで、2nよりも小さいから。同様に、最初の反例はmod 4で3と合同である。なぜならば、f2(4n + 1) = 3n + 1 で、4n + 1 より小さいからである。コラッツ予想の反例でないすべての a には、上記不等式が成立するkが存在する。なので、ある数のコラッツ予想の検証するとき、合同なクラスを検証するとよい。k が増加したときの検証は、より小さい k で除外されなかった b についてのみ検証すればよい。指数関数的に小さい割合だけが残ることになる[16]。例えば mod 32では、b=7, 15, 27, 31だけが残る。

類似の問題[編集]

関数 f の定義を少し変えることにより、コラッツの問題の類似を考えることができる。

変数nが奇数の時の乗数の奇数一般への拡張による類似問題[編集]

例えば「任意の正の整数 n に対して

  • n が偶数の場合、n を 2 で割る
  • n が奇数の場合、n に 2m – 1 (m ≥ 1)をかけて 1 を足す

という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達する」という命題を考える。m = 1 のとき(nが奇数なら単に1を足す)は、この命題が正しいことを簡単に証明できる。m = 2 の場合が上述のコラッツの問題である。m ≥ 3 の場合は、mの値とnの初期値によっては、1を含まない繰り返し数列、もしくは際限なく増大していく数列が得られるため、この命題は一般に成り立たない。たとえば m = 3 の場合、nの初期値を13に設定すると、13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13 という1を含まない数列のサイクルが得られる。これは上記のヒューリスティクスの観点からして、mが大きくなるほど1に到達する可能性は低くなると予想されることとも符合する。

変数nが奇数の時の加算数の奇数一般への拡張による類似問題[編集]

また、もう一つの類似として、「任意の正の整数 n に対して

  • n が偶数の場合、n を 2 で割る
  • n が奇数の場合、n に 3をかけて 2l - 1 (l ≥ 1) を足す

という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達する」という命題を考える。 ここで、l = 1 のときが上述のコラッツの問題である。しかし、l ≥ 2の場合、1を含まない繰り返し数列が得られる場合があるので、この命題は一般に成り立たない。

たとえば、l = 2として、初期値n = 43を与えた場合、43, 132, 66, 33, 102, 51, 156, 78, 39, 120, 60, 30, 15, 48, 24, 12, 6, 3, 12, 6, 3という数列が得られ、この命題は成り立たない。初期値nが1, 2などなら有限回で1に到達するが、他の初期値に対しては3, 12, 6, 3と、3を繰り返すサイクルになると思われる。そこでl = 2に対してコラッツの予想を応用し、「任意の正の整数 n に対して、上記の操作を行えば、有限回で1または3に到達する」という命題を代わりに立てれば、これが成り立つと予想される。

この二つの予想を一般化して、「任意の正の整数 n に対して

  • n が偶数の場合、n を 2 で割る
  • n が奇数の場合、n に 3をかけて 2l – 1 (l ≥ 1) を足す

という操作を繰り返すと、有限回で1または2l – 1 (l ≥ 1) に到達する」という命題を立てたとしても、l ≥ 3以上の場合には、この命題は一般に成り立たない。たとえばl = 3の場合、任意の自然数nが1または5に到達するという命題になるが、n=13の時、13, 44, 22, 11, 38, 19, 62, 31, 98, 49, 152, 76, 38, 19と、19を繰り返す無限ループになり、1にも5にも到達しない。

ただし、上の、2l – 1 (l ≥ 1) が、0以上の整数aを用いて3a–1 (a ≥ 1) で表されるときには、上記のプロセスを繰り返せば、有限回数で1または3a–1 (a ≥ 1) に到達することは予想される。a = 1の場合がコラッツの問題である。a = 2の場合は、上記でl = 2のケースである。

変数nが奇数の時の乗数と加算数双方の、奇数一般への拡張による類似問題[編集]

以上のことから、一般化は困難ではあるが、個別に考えるなら、さらに進んで、「任意の正の整数 n に対して

  • n が偶数の場合、n を 2 で割る
  • n が奇数の場合、n に 2m – 1 (m ≥ 1) をかけて、2l – 1 (l ≥ 1) を足す

という操作を繰り返すとき、nmlの値に応じてどのような数列が展開されるか」

という問題にも拡張できるなど、コラッツの問題の類似問題の幅は広い。

脚注[編集]

[脚注の使い方]
  1. ^ Lagarias, Jeffrey C., ed (2010). The ultimate challenge: the 3x + 1 problem. Providence, R.I.: American Mathematical Society. p. 4. ISBN 978-0821849408 
  2. ^ Barina, D. Convergence verification of the Collatz problem. J Supercomput (2020). https://doi.org/10.1007/s11227-020-03368-x
  3. ^ 数学Ⅱ・数学B(2011年1月24日時点のインターネットアーカイブ) (PDF) - 【センター試験】2011年度大学入試センター試験速報-問題と正解(47NEWS)(2011年1月23日時点のインターネットアーカイブ)
  4. ^ Barina, David (2020). “Convergence verification of the Collatz problem”. The Journal of Supercomputing. doi:10.1007/s11227-020-03368-x. 
  5. ^ Eliahou, Shalom (1993-08-01). “The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths”. Discrete Mathematics 118 (1): 45–56. doi:10.1016/0012-365X(93)90052-U. 
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  7. ^ Steiner, R. P. (1977). “A theorem on the syracuse problem”. Proceedings of the 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics. pp. 553–9. MR535032 
  8. ^ Simons, John L. (2005). “On the nonexistence of 2-cycles for the 3x+1 problem”. Math. Comp. 74: 1565–72. Bibcode2005MaCom..74.1565S. doi:10.1090/s0025-5718-04-01728-4. MR2137019. 
  9. ^ a b c Lagarias, Jeffrey C. (1985). “The 3x + 1 problem and its generalizations”. The American Mathematical Monthly 92 (1): 3–23. doi:10.1080/00029890.1985.11971528. JSTOR 2322189. 
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  12. ^ Chamberland, Marc (1996). “A continuous extension of the 3x + 1 problem to the real line”. Dynam. Contin. Discrete Impuls Systems 2 (4): 495–509. 
  13. ^ Letherman, Simon; Schleicher, Dierk; Wood, Reg (1999). “The (3n + 1)-Problem and Holomorphic Dynamics”. Experimental Mathematics 8 (3): 241–252. doi:10.1080/10586458.1999.10504402. 
  14. ^ Scollo, Giuseppe (2007), “Looking for Class Records in the 3x+1 Problem by means of the COMETA Grid Infrastructure”, Grid Open Days at the University of Palermo, http://www.dmi.unict.it/~scollo/seminars/gridpa2007/CR3x+1paper.pdf 
  15. ^ Garner, Lynn E.. “On The Collatz 3n + 1 Algorithm”. 2015年3月27日閲覧。
  16. ^ [9]Theorem D.

関連文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]