カタランの定数

数学において、カタランの定数 $G$ （カタランのていすう、英語: Catalan's constant）とは、ディリクレベータ函数 $β$ を用いて以下のように定義される定数である。

G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,

その数値^[1]はおよそ

G = 0.915 965594177219015054603514932384110774 \dots

とされる（オンライン整数列大辞典の数列 A006752）。

数学の未解決問題
カタランの定数は無理数か？もうしそうならば、超越数か？

$G$ が無理数・超越数なのかは未だに分かっていない^[2]。 $G$ は「無理数や超越数であるかどうかが（そうであると強く推測されながらも）今だ明らかでない最も基礎的な定数」だと言われている^[3]。

カタランの定数は、級数の数値計算のために素早く収束する級数を発見し^[4]、1865年にその回顧録を出版したウジェーヌ・カタランに因んで名付けられた^[5]。

適用事例

低次元トポロジーにおいて、カタランの定数はイデアルな双曲八面体の体積の1/4であり、したがってホワイトヘッド環の補集合の双曲体積の1/4である^[6]。また、ボロミアン環の補集合の体積の1/8である^[7]。
組み合わせ数学と統計力学において、格子グラフ（英語版）上のドミノタイリング^[8]や全域木^[9]、ハミルトン路^[10]の数え上げと関連している。
数論において、カタランの定数はハーディ・リトルウッドのF予想での $n 2 + 1$ という形で表される素数の個数の漸近式に現れる。しかしながら、この形式をした素数が無限個存在するかどうかすら未解決（ランダウの問題（英語版）の1つ）である^[11]。
渦巻銀河の質量分布（英語版）の計算においてカタランの定数が現れる^[12]^[13]。
双曲線正割分布において、分布のエントロピーはカタランの定数の $4/\pi$ 倍である。
グーデルマン関数 $y=\operatorname {gd} x$ のグラフ、y軸および漸近線で囲まれる領域（のうち有限領域であるほう）の面積は、カタランの定数の4倍に等しい。

既知の桁

カタランの定数 $G$ の既知の桁数は、ここ数十年で飛躍的に増加した。これはコンピュータの性能の向上およびアルゴリズムの改善によるものである^[14]。

十進法でのカタランの定数 $G$ の既知桁数
日付	十進法での桁数	計算者
1832年	16	トーマス・クラウゼン
1858年	19	Carl Johan Danielsson Hill
1864年	14	ウジェーヌ・シャルル・カタラン
1877年	20	ジェームズ・W・L・グレーシャー
1913年	32	ジェームズ・W・L・グレーシャー
1990年	20000	Greg J. Fee
1996年	50000	Greg J. Fee
1996年 8月14日	100000	Greg J. Fee & サイモン・プラウフ
1996年 9月29日	300000	Thomas Papanikolaou
1996	1500000	Thomas Papanikolaou
1997	3379957	Patrick Demichel
1998年	12500000	Xavier Gourdon
2001年	100000500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	201000000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006年10月	5000000000	近藤茂 & Steve Pagliarulo^[15]
2008年8月	10000000000	近藤茂 & Steve Pagliarulo^[14]
2009年 1月31日	15510000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[16]
2009年 4月16日	31026000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[16]
2015年 6月7日	200000001100	Robert J. Setti^[17]
2016年 4月12日	250000000000	Ron Watkins^[17]
2019年 2月16日	300000000000	Tizian Hanselmann^[17]
2019年 3月29日	500000000000	Mike A & Ian Cutress^[17]
2019年 6月16日	600000000100	Seungmin Kim^[18]^[19]
2020年 9月6日	1000000001337	Andrew Sun^[20]

積分表示

Seán Stewart が述べたように、「カタランの定数と等しい、あるいはカタランの定数で表現できる定積分は非常に多く、いくらでも存在するかのようである」^[21]。そのうちいくつかを以下に示す。 ${\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt=\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {\pi }{2}}\ln \tan t\,dt=-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \tan t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\operatorname {gd} ^{-1}t\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{0}\left(\operatorname {gd} t+{\frac {\pi }{2}}\right)\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}dxdy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}$

このうち、最後の3式はマルムステン（英語版）の積分と関連している^[22]。

$K(k)$ を楕円率 $k$ の函数とした第一種完全楕円積分とすると、次の式が成り立つ。 $G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk$

$E(k)$ を楕円率 $k$ の函数とした第二種完全楕円積分とすると、次の式が成り立つ。 $G=-{\frac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk$

ガンマ函数 $Γ(x + 1) = x!$ を用いて ${\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}$

次の積分は逆正接積分（英語版）として知られる特殊函数であり、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって詳しく研究された。 $G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt$

他の特殊函数との関係

$G$ はトリガンマ函数（英語版）として知られる第二ポリガンマ函数の分数変数に対応する従属変数として現れる。 ${\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G\end{aligned}}$

サイモン・プラウフはトリガンマ函数、 $π 2$ およびカタランの定数の間で成立する（グラフ上の道として表現可能な）無限個の恒等式を与えている。

カタランの定数はクラウゼン函数、逆正接積分（英語版）、逆正弦積分、バーンズの $G$ 函数などとの関係や、前述の函数を用いた積分・級数においてよく現れる。

一例として、逆正接積分（英語版）を閉じた形（つまりはクラウゼン函数）で表し、そのクラウゼン函数をバーンズの $G$ 函数で表すことで次の式が得られる。 $G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right)$

レルヒゼータ函数（英語版）と関連したレルヒ超越函数 $Φ(z, s, α)$ （英語: Lerch transcendent）を $\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}$ と定義すると、次の関係が成り立つ。 $G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right)$

収束の早い級数

以下の2公式は収束の早い級数を含んでおり、数値計算に適している。 ${\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}$ $G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}$ 2公式の理論的基盤はそれぞれブロードハースト^[23]（Broadhurst）およびラマヌジャン^[24]によって与えられている。カタラン定数の早い評価アルゴリズムはE・カラツバ（Karatsuba）によって構築された^[25]^[26]。これらの級数を用いることで、今日ではアペリーの定数 $ζ(3)$ に匹敵する速さでカタランの定数を計算できる^[27]。

以下は Guillera および Pilehrood によるチュドノフスキー・アルゴリズム（英語版）を利用した級数である^[27]。

G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}

G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}

G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)

これらの時間計算量（英語版）は $O (n log(n) 3)$ となる^[27]。

連分数

$G$ は次のように表せられる^[28]。

G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}

より単純な連分数表記を以下に示す^[29]。

G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}

この連分数の項が無限個存在することは $G$ が無理数であることと同値であり、未解決のままである。

脚注

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外部リンク

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