一般化されたリーマン予想

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数学では、リーマン予想は最も重要な予想の一つである。リーマン予想は、リーマンゼータ函数のゼロ点に関する予想である。様々な幾何学的、数論的対象がいわゆる大域的L-函数英語版により記述することができる。大域的L-函数は形式的にはリーマンゼータ函数と似ているであるので、これらのL-函数のゼロ点に対しての同じ問いを投げかけると、リーマン予想の様々な一般化が得られる。多くの数学者はこれらの一般化されたリーマン予想が正しいと信じている。(数体の場合ではなく)函数体の場合のみが、すでにこれらの予想が証明されている。

大域的L-函数は、楕円曲線数体英語版(この場合は、デデキントゼータ函数と呼ばれる)、マース形式(Maass form)やディリクレ指標(この場合はディリクレのL-函数と呼ばれる)に付随している。リーマン予想がデデキントのゼータ函数に対して定式化されているとき、拡張されたリーマン予想(EGH)(extended Riemann hypothesis)として知られていて、ディリクレのL-函数に対して定式化されているときに、一般化されたリーマン予想(GRH)(generalized Riemann hypothesis)として知られている。これらの 2つの予想は以下にさらに詳しく議論する。(多くの数学者は、一般化されたリーマン予想という名称を、ただ単にディリクレのL-全函数という特殊な場合だけではなく、全ての大域的なL-函数へリーマン予想を拡張したものとして使う。)

一般化されたリーマン予想(GRH)[編集]

(ディリクレのL-函数に対する)一般化されたリーマン予想は、アドルフ・ピルツ英語版(Adolf Piltz)により1884年に最初に定式化された[1]。元のリーマン予想のように、素数の分布について深い内容を持ってる。

予想の公式の定式化は次のようになる。ディリクレ指標(Dirichlet character)とは、乗法的英語版(completely multiplicative)な数論的函数 χ であり、ある正の整数 k が存在し、全ての n に対し χ(n + k) = χ(n) であり、gcd(n, k) > 1 のときはいつも χ(n) = 0 であるような χ のことをいう。そのような指標が与えられると、対応するディリクレのL-函数(Dirichlet L-function)を次のように定義することができる。全ての実部が 1 より大きな複素数 s に対し、


L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
.

解析接続(analytic continuation)により、この函数は全複素平面で定義された有理型関数(meromorphic function)へ拡張することができる。一般化されたリーマン予想は、全てのディリクレ指標 χ と L(χ,s) = 0 である s に対し、s の実部が 0 と 1 の間にあれば、s の実部は 1/2 となるであろうという予想である。

全ての n に対し χ(n) = 1 の場合がリーマンの予想である。

GRHの結果[編集]

ディリクレの定理英語版(Dirichlet's theorem)は、a と d が互いに素自然数であれば、等差数列 a, a+d, a+2d, a+3d, … は無限個の素数を含んでいることを言っている。π(x,a,d) でこの数列に含まれる x に等しいか小さい素数の数を表すことにする。一般化されたリーマン予想がただしいとすると、全ての互いに素な a と d と任意の ε > 0 に対し、

\pi(x,a,d) = \frac{1}{\varphi(d)} \int_2^x \frac{1}{\ln t}\,dt + O(x^{1/2+\epsilon})\quad\mbox{ as } \ x\to\infty

である。ここに φ(d) をオイラーのトーシェント函数とし、Oランダウの記号(Big O notation)とする。この定理は素数定理の重要な拡張である。

GRHが正しいとすると、3(ln n)2 よりも小さな n と互いに素な数と同じく、任意の乗法的群 (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times の固有な部分群は 2(ln n)2 よりも小さい数を削除することができる[2]。言い換えると、(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times は、2(ln n)2 よりも小さな数の集合により生成される。(GRHを前提とすると)このことは(他の)証明によく使われ、多くの結果がある。例えば

GRHが正しいとすると、全ての素数 p に対し O((\ln p)^6) よりも小さいp を modulo とする原始根(p をmoduloとする正数の乗法群の生成子)が存在する[3]

拡張されたリーマン予想 (ERH)[編集]

K を代数体有理数体 Q の有限次元拡大体)で、整数環 OK (この環は K の整数 Z整閉包英語版(integral closure)である)を持っているとする。a をゼロ以外の OKイデアルとして、そのノルムを Na により表すとする。K のデデキントゼータ函数は、実部 > 1 である全ての複素数 s に対して次のように定義される。


\zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s}

ここの和は、OK のゼロでないイデアル a の全てを渡るものとする。

デデキントのゼータ函数は函数等式を満たし、全複素平面へ解析接続することができる。結果として得られる函数は、数体 K の重要な情報をエンコードしている。拡張されたリーマン予想は、全ての数体 K と ζK(s) = 0 である全ての複素数 s に対して、s の実部が 0 と 1 の間にあるならば、実際は 1/2 であろうという予想である。

通常のリーマン予想は、整数環 Z をもつ数体を Q をとると、この拡張した予想から得られる。

参照項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Davenport, p. 124.
  2. ^ Bach, Eric (1990). “Explicit bounds for primality testing and related problems”. Mathematics of Computation 55 (191): 355–380. JSTOR 2008811. 
  3. ^ Shoup, Victor (1992). “Searching for primitive roots in finite fields”. Mathematics of Computation 58 (197): 369–380. JSTOR 2153041. 

参考文献[編集]