ブロカールの問題

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ブロカールの問題 (ブロカールのもんだい、: Brocard's problem) とは、

を満たす整数の組 (n, m) がいくつ存在するか、という数学の問題である。ただし、 n! は階乗を表す。アンリ・ブロカール英語版が1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが同じ問題を独立に提示している。

ブラウン数[編集]

上式を満たす (n, m) の組はブラウン数 (: Brown numbers) と呼ばれる。ブラウン数の組は

(4,5), (5,11), (7,71)(小さい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 A146968、大きい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 A216071を参照)

の3つしか知られていない。ポール・エルデシュは、これ以外の解は存在しないと予想した。Overholt (1993) は、ABC予想が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。Berndt & Galway (2000) は109までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。

一般化[編集]

Dabrowski (1996)はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し

を満たす解は有限組しか存在しないこと、A平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと(実際 Ap を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると p で決して割り切れないので n < p でなければならない)を示した。その後、京都大学の望月新一(日本)によってABC予想が証明され(2020)、任意の自然数Aに対して解が有限個であることが示された。Luca (2002)はこれをさらに一般化し、 2次以上で整数係数を持つ任意の多項式P(x)に対して

を満たす解は有限組しか存在しないことを示した。

指数が2より大きい場合、および の形の方程式については Erdős & Obláth (1937) が既に

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

m が 4 以外のときには解を持たず m =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また

の解は有限個であることも示している。その後Pollack & Shapiro (1973)

は解を持たないことを示している。

参考文献[編集]

  • Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m2, The Ramanujan Journal 4: 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf .
  • Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .
  • Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math. 4: 391 .
  • Dabrowski, A. (1996), “On the Diophantine Equation x! + A = y2”, Nieuw Arch. Wisk. 14: 321–324 .
  • Erdős, Paul; Obláth, Richard (1937), “Über diophantische Gleichungen der Form und , Acta Litt. Sci. Szeged 8: 241-255, https://www.renyi.hu/~p_erdos/1937-09.pdf .
  • Guy, R. K. (1994), “D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 193–194, ISBN 0-387-90593-6 .
  • Luca, Florian (2002), “The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt”, Glasnik Matematički 37 (57): 269–273, http://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf .
  • Overholt, Marius (1993), “The diophantine equation n! + 1 = m2”, Bull. London Math. Soc. 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104 .
  • Pollack, Richard M.; Shapiro, Harold N. (1973), “The next to last case of a factorial diophantine equation”, Comm. Pure Appl. Math. 26: 313-325, http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160260303/abstract .

外部リンク[編集]