スピロ予想

数論において、スピロ予想 (Szpiro's conjecture) は、楕円曲線の導手と判別式との間の関係について述べた予想であり、ABC予想と深い関係にある。この予想の名前は、1980年代にこれを定式化した リュシアン・スピロ（英語版）に由来する。

言明

任意の ε > 0 に対し、定数 C (ε) が存在して、有理数体 Q 上定義された全ての楕円曲線 E に対して、E の極小判別式を Δ で、導手を f で表すと、

$\vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }$

が成り立つ。

以上は有理数体における主張であるが、一般の代数体Ver.や関数体Ver.もある。関数体Ver.は、Szpiro の定式化のずっと以前に小平邦彦によって発見されており、その証明は易しい。

ABC予想との関係

スピロ予想より強い以下の主張がABC予想と同値である。

任意の ε > 0 に対し、定数 C (ε) が存在して、有理数体 Q 上定義された全ての楕円曲線 E に対して、

$\max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }$

が成り立つ。ここに、c₄, c₆ は楕円曲線 E のよく知られた不変量である。

一般に 1728Δ = c₄³ - c₆² であるから、上記の主張から通常のスピロ予想は簡単に導かれる。

通常のスピロ予想は、少し弱いVer.のABC予想と同値である。

参考文献

• Lang, S. (1997), Survey of Diophantine geometry, Berlin: Springer-Verlag, p. 51, ISBN 3-540-61223-8 
• Szpiro, L. (1981), “Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux”, Astérisque 86 (3): 44–78 
• Szpiro, L. (1987), “Présentation de la théorie d'Arakelov”, Contemp. Math. 67: 279–293, doi:10.1090/conm/067/902599, Zbl 0634.14012 
• Joseph H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 1994.

外部リンク

• William Stein, Szpiro and ABC.