導手

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代数的整数論で、局所体大域体有限次アーベル拡大導手(conductor)は、拡大の時の分岐の量を測る。導手の定義はアルティン写像に関係している。

局所導手[編集]

L/K を非アルキメデス的局所体の有限アーベル拡大とすると、L/K の導手は、\mathfrak{f}(L/K) と書いて、高次単数群英語版(higher unit group)

U^{(n)}=1+\mathfrak{m}^n=\left\{u\in\mathcal{O}^\times:u\equiv1\, (\mathrm{mod}\,\mathfrak{m}_K^n)\right\}

が NL/K(L×) に含まれるような最小の非負な整数 n を意味する。ここに、NL/K体のノルム(field norm)写像で、\mathfrak{m}_K は K の最大イデアル(maximal ideal)とする[1]。同じことであるが、n は局所アルティン写像U_K^{(n)} 上で自明であるような最小の整数である。導手は、上記の n を \mathfrak{m}_K^n として定義されることもある。[2]

拡大の導手は分岐を測る。量(数値)を考えると、拡大が不分岐であることと、導手が 0 であることとは同値であり[3]、(拡大が)おとなしい分岐英語版(tamely ramified)であることと、導手が 1 であることとは同値である[4]。さらに詳しくは、導手は高次分岐群英語版(higher ramification group)の非自明性を測ることができる。小さな値の数英語版(lower numbering)の高次分岐群 Gs が非自明であるような最も大きな整数を s とすると、\mathfrak{f}(L/K)=\eta_{L/K}(s)+1 が成り立つ。ここに ηL/K は「小さな値の数」を高次分岐群の大きな値の数英語版(upper numbering)へ変換する函数とする。[5]

また、L/K の導手はガロア群 Gal(L/K) の指標のアルティン導手英語版(Artin conductor)にも関係している。特に、[6]

\mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}(L/K)}=\underset{\chi}{\mathrm{lcm}}\,\mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}_\chi}

であり、ここに χ は Gal(L/K) の虚数乗法的な指標英語版(multiplicative complex characters)の全てを渡り、\mathfrak{f}_\chi は χ のアルティン指標であり、lcm は最小公倍数である。

さらに一般的な体[編集]

導手は、局所体の必ずしもアーベル的ではない有限次ガロア拡大に対しても L/K と同じ方法で定義することができる[7]。しかしながら、導手は「ノルム極限定理」のために、L の中での K の最大アーベル拡大である Lab/K のみに依存する。ノルム極限定理は、この状況下では、

N_{L/K}(L^\times)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left((L^{\text{ab}})^\times\right)

を意味している[8][9]

加えて、局所体の場合よりも少し一般的な場合、つまり、準有限英語版(quasi-finite)な剰余体を持つ完全付値体の場合は、導手を定義することができる[10]

アルキメデス的な体[編集]

大域的導手のためには、自明な拡大 R/R の導手が 0 であると定義し、拡大 C/R の導手が 1 であると定義する。[11]

大域的導手[編集]

代数体[編集]

数体のアーベル拡大 L/K の導手は、アルティン写像を使い局所の場合と同様に定義できる。特に θ : Im → Gal(L/K) を大域的アルティン写像(global Artin map)とする。ここでは、モジュラス英語版(modulus) m は L/K の定義モジュラス英語版(defining modulus)である。θ が射類群英語版(ray class group) m をモジュラスとして分解するときに、アルティン相反性(Artin reciprocity)が m で成り立つという。L/K の導手を \mathfrak{f}(L/K) と書き、相反法則の成立するモジュラスのすべての共通部分とする。実際、相反法則は、\mathfrak{f}(L/K) に対し成り立つので、これは最も小さなそのようなモジュラスである[12][13][14]

[編集]

  • 有理数体を基底として、クロネッカー・ウェーバーの定理は、代数体 K が Q のアーベル拡大であることと、ある円分体 \mathbf{Q}(\zeta_n) の部分体であることは同値であることを言っている[15]。従って、K の導手はそのようなものの中で最も小さな n である。
  • p を素数とし、d を平方数ではない整数としたときの L/K を \mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q} とすると、[16]
\mathfrak{f}\left(\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}\right) = \begin{cases}
\left|\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\right| & \text{for }d>0 \\
\infty\left|\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\right| & \text{for }d<0
\end{cases}
が成り立ち、ここに \Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}判別式英語版(discriminant)である。

局所導手や分岐との関係[編集]

大域導手は局所導手の積である。[17]

\displaystyle \mathfrak{f}(L/K)=\prod_\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{\mathfrak{f}(L_\mathfrak{p}/K_\mathfrak{p})}.

結局、有限素点が L/K で分岐していることと、それが \mathfrak{f}(L/K) を割ることは同値である。[18] 無限素点 v は導手の中にあることと、v が実素点で、L の中で複素数となる。

脚注[編集]

  1. ^ Serre 1967, §4.2
  2. ^ As in Neukirch 1999, definition V.1.6
  3. ^ Neukirch 1999, proposition V.1.7
  4. ^ Milne 2008, I.1.9
  5. ^ Serre 1967, §4.2, proposition 1
  6. ^ Artin & Tate 2009, corollary to theorem XI.14, p. 100
  7. ^ Serre 1967, §4.2にあるように、
  8. ^ Serre 1967, §2.5, proposition 4
  9. ^ Milne 2008, theorem III.3.5
  10. ^ As in Artin & Tate 2009, §XI.4. This is the situation in which the formalism of local class field theory works.
  11. ^ Cohen 2000, definition 3.4.1
  12. ^ Milne 2008, remark V.3.8
  13. ^ Janusz 1973, pp. 158,168–169
  14. ^ 無限素点を導手の定義から外している著者もいる。Neukirch 1999, §VI.6
  15. ^ Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (Second ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002. 
  16. ^ Milne 2008, example V.3.11
  17. ^ 有限部分はNeukirch 1999, proposition VI.6.5、無限部分はCohen 2000, definition 3.4.1を参照
  18. ^ Neukirch 1999, corollary VI.6.6

参考文献[編集]