円分体

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円分体 (えんぶんたい、: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の 乗根 を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、 とする。

性質[編集]

  • 3 以上の整数 m に対して、円分体 拡大次数 は、 である。但し、オイラー関数である。
  • 任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
  • 3 以上の整数 m に対して、 ( は、相異なる素数素因数分解すると、
は、合成体であり、
が成立する。また、円分体 で分岐する有理素数[1]は、 に限る。
  • である。この を、最大実部分体または実円分体という。
  • 一意分解整域である円分体 (mod 4))[2]は、m = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 だけである。
  • 特に、23 以上の素数 p に対して、円分体 は一意分解整域ではない。
  • 類数が 2 である円分体 (mod 4)) は、m = 39, 56 だけである。
  • 円分体 に含まれる代数的整数の集合は、 である。

円分体の判別式[編集]

m を 3 以上の整数とし、円分体 とする。

(1) m が素数のとき

K判別式は、 である。

(2) (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、 である。但し、

(3) ( は相異なる素数、 のとき

を、円分体 の判別式としたとき、 K の判別式は、

である。

アーベル拡大体の埋め込み[編集]

クロネッカー=ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 が存在して、

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー=ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー=ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

円分体と初等整数論[編集]

フェルマーの最終定理[編集]

素数 p に対して、

の右辺を、 上で分解すると、

となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記右辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、右辺の分解が一意的であることが前提になっており、 のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、 (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。

  • 素数 p は、円分体 類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 p が正則素数であれば、円分体 の単数 ε を、 となる有理整数 a が存在するようにとると、 の単数 が存在して、 と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

平方剰余の相互法則[編集]

ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則第1補充法則第2補充法則を示した[3]。さらに、 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

円分体の類数[編集]

円分体の類数の性質[編集]

以下において、p を奇素数とする。

円分体 の類数を 、最大実部分体 の類数を とすると、 ( は有理整数)と表すことができる。 このとき、第1因子または相対類数第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

  • 素数 p に対して、p を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。
つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。
この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
  • 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 が、 を割り切る様な整数 k が存在することである。
  • が奇数であるならば、 は奇数である。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、 と予想した。 但し、[4]

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

  • q を素数とし、 とする。 が素数であるならば、 である。

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。

円分体の類数公式[編集]

円分体の類数を求めるには、 より、第1因子と第2因子を求めればよい。[5]

  • 第1因子
ここで、
S は、 を満たす、法 m に関する指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
m が素数のとき、以下の様な式がある。
ここで、η は、1 の原始 乗根とし、
但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 に対して、 は、 を満たす正整数とする。
  • p の倍数ではない整数 r に対して、 を、 を満たすようにとる。
また、 を、 を満たすようにとる。
[6]とおくと、
である。
  • 第2因子
ここで、R は、単数基準T は、 を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
ここで、η は、1 の原始 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。
m が素数のとき、以下の様な式がある。
  • に対して、 [7] とおく。
g を法 p に関する原始根とし、 とおく。
また、σ を、 を満たす、 の生成元とする。
とおくと、
但し、R は、の単数基準とする。

注釈[編集]

  1. ^ 有理整数である素数のこと。
  2. ^ としたとき、 であるので、 (mod 4) としてよい。
  3. ^ この証明は、彼による4番目の証明である。(1801-1805年に証明)
  4. ^ が成立するので、ディリクレのL関数の積が 1 に収束することと同値である。
  5. ^ 実際は、円分体に対して、直接類数公式で求めるのが普通である。
  6. ^ マイレ(Maillet)の行列という。
  7. ^ δk は、 の正の実数である単数であり、クンマー単数または円単数と呼ばれる。

参考文献[編集]

  • 高木, 貞治 『代数的整数論 第2版』 岩波書店、東京、1971年
  • ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R. 『整数論 (下)』 佐々木義雄訳、吉岡書店、京都、1972年
  • リーベンボイム, P. 『フェルマーの最終定理 13講 第2版』 吾郷博顕訳、共立出版、東京、1989年
  • 倉田, 令二朗 『平方剰余の相互法則 -ガウスの全証明』 日本評論社、東京、1992年
  • 河田, 敬義 『数論 -古典数論から類体論へ-』 岩波書店、東京、1992年
  • ノイキルヒ, J. 『代数的整数論』 足立恒雄(監修)・梅垣敦紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年
  • Masley, J. M. (1975). “Solution of the class number two problem for cyclotomic fields”. Invent. Math. 28: 243-244. 

関連項目[編集]