フェルマー=カタラン予想

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フェルマー=カタラン予想(-よそう、: Fermat–Catalan conjecture)とはフェルマーの最終定理カタラン予想を結びつけて提起された数論予想である。内容は以下の方程式自然数解について述べたものである。

ここで a, b, c互いに素な自然数で、m, n, k は以下の不等式を満たす自然数とする。

この予想は上記の方程式と不等式をともに満たす組 (a, b, c, m, n, k)有限個であるという命題である。上の不等式から m, n, k は全て 2 以上で、うち少なくとも2つは 2 より大きい。

m = n = k = 2 の場合は a, b, cピタゴラス数であって、方程式を満たす組 (a, b, c) は無数に存在することが分かっているが、これらは上の不等式を満たさないので不適である。

また m > 3m = n = k の場合は (a, b, c) はフェルマーの最終定理の方程式(のうち指数が 4 以上のもの)を満たす自然数解であるが、それらは存在しないことがワイルズによって証明されている。

知られている解と関連する予想[編集]

2014年現在、以下の10個の解が知られている[1]

最初の では、上記の不等式を満たすために m > 6 が必要であり、カタラン予想の方程式を唯一満たす解を表している。フェルマー=カタラン予想ではこの解の m の値の違いは考えずに、それらは全て一つの解とみなす。カタラン予想は2002年プレダ・ミハイレスクによって解決された。

ファルティングスの定理からは上記の不等式を満たす m, n, k の組それぞれについて、解 (a, b, c) が有限個存在することが示されるが、フェルマー=カタラン予想のほうがより強い予想である。これは不等式の条件を満たす組 (m, n, k) は無数の組み合わせがあり、したがって組 (m, n, k, a, b, c) にも無数の組み合わせがあるとも考えられるからである。

今まで見つかっている解の中では、m, n, k のうち1つは 2 である。また、その中では m, n, k互いに素である。m, n, k が全て 3 以上で a, b, c が互いに素であるような解はないという予想(Beal予想)がある。a, b, c1 より大きい公約数をもつ場合としては などがある(この場合は 3 が公約数)。

ABC予想からフェルマー=カタラン予想を導くことができる。つまり、ABC予想が真ならばフェルマー=カタラン予想も真である。

脚注[編集]

  1. ^ ポメランス(2008), "Computational Number Theory", ガワース; Barrow-Green, June; Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2

関連項目[編集]