バーゼル問題

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バーゼル問題(バーゼルもんだい、Basel problem)とは級数の問題の一つで、平方数逆数全ての和はいくつかという問題である。1644年Pietro Mengoli によって提起され、1735年レオンハルト・オイラーによって解かれた。バーゼルとはオイラーの故郷であり、この問題を解くのに失敗したベルヌーイ一家の故郷でもある。

オイラーはこの問題の一般化を解決した。ベルンハルト・リーマンはそのアイディアを取り入れることでゼータ関数を定義し、その性質を調べることに繋がった(1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」)。

求める平方数の逆数和を記号で書くと、次のようになる。

これは、ゼータ関数

s = 2 における値 ζ(2) でもある。答えは、円周率π とすると (= 1.644934…) である。 オイラー積によれば

となる。

収束することの証明[編集]

したがって であり、この級数は収束する。一般にゼータ関数 ζ(s) は s > 1 の範囲で収束する。

オイラーの解法[編集]

オイラーは、sin xマクローリン展開を利用して解く方法を編み出した。まずは sin x

と展開する。この両辺を x で割ると

左辺は x = ±nπn自然数)で 0 であるから、右辺を形式的に以下のように「因数分解」できる。

隣接する2項を掛け合わせると

(1) = (2) であり、両辺の x2 の係数を比較すると

これらは等しいはずなので

ゆえに、求める級数の値は

なおオイラーは、一般的に k 番目のベルヌーイ数Bk とすると

が成り立つことも示した。

フーリエ解析を用いた解法[編集]

放物線フーリエ級数で表す方法を用いる。

を考える。この放物線は偶関数であるからフーリエ係数 bn は 0 である。a0

であり、an (n ≥ 1) は

ゆえに、f(x) のフーリエ級数は

両辺に x = π を代入すると

ゆえに、バーゼル問題の解

が得られる。

関連項目[編集]