バーゼル問題

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バーゼル問題(バーゼルもんだい、: Basel problem)とは級数の問題の一つで、平方数逆数全ての和はいくつかという問題である。1644年ピエトロ・メンゴリイタリア語版英語版によって提起され、1735年レオンハルト・オイラーによって解かれた。バーゼルはオイラーの故郷であり、この問題を解くのに失敗したベルヌーイ一家の故郷でもある。

概説[編集]

オイラーはこの問題の一般化を解決した。ベルンハルト・リーマンはそのアイディアを取り入れることでゼータ関数を定義し、その性質を調べることに繋がった(1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」)。

求める平方数の逆数和を記号で書くと、

となる。これは、ゼータ関数

s = 2 における値 ζ(2) でもある。その値は π2/6 (= 1.644934…) である(π は円周率)。オイラー積によれば

となる。

収束することの証明[編集]

比較判定法による。

である。したがってこの級数は収束する。一般にゼータ関数 ζ(s)Re s > 1 の範囲で収束する。

オイラーの解法[編集]

オイラーは、sin xマクローリン展開を利用して解く方法を編み出した。まずは sin x

と展開する。この両辺を x で割ると

となる。左辺はちょうど x = ±n正の整数)のとき 0 であるから、右辺を形式的に以下のように「因数分解」できる。

隣接する2項を掛け合わせると

(1) と (2) の右辺の x2 の係数は

である。これらは等しいはずなので

である。ゆえに、求める級数の値は

である。なおオイラーは一般的に、k 番目のベルヌーイ数Bk とすると

が成り立つことも示した。

フーリエ解析を用いた解法[編集]

放物線フーリエ級数で表す方法を用いる。

を考える。この放物線は偶関数であるから余弦関数で展開できる:

ここで

であり、an (n ≥ 1)

である。ゆえに、f(x) のフーリエ級数は

であり、両辺に x = π を代入すると

となる。ゆえに、バーゼル問題の解

が得られる。

関連項目[編集]