与えられた数より小さい素数の個数について

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与えられた数より小さい素数の個数について』(あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて[1]、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)は、19世紀ドイツ数学者であるベルンハルト・リーマン1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳の若さで没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある[2][3][4]

本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。

この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は z = x + iy(特に z = 1/2 + iy)と書くところを、ゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで s = 1/2 + it と書く習慣がある[5]。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。

導入された新定義[編集]

記載された証明又は証明のあらまし[編集]

  • ζ(s) の関数等式についての二通りの証明
  • ξ(t) の積表示[8]の証明のあらまし(1896年にアダマール (en) が完全に証明)
  • ξ(t) の零点のうち虚部が 0 と T の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし(1905年にフォン・マンゴルド (en) が完全に証明)
  • リーマンの素数公式の証明のあらまし(1895年にフォン・マンゴルドが完全に証明)

提起された予想[編集]

  • リーマン予想:「ξ(t) の全ての零点は実数である」。α を ξ(t) の零点として、ζ(s) の負の偶数を除く零点は 1/2 + iα と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「ζ(s) の非自明な零点の実部は 1/2 に等しい」

導入された新たな技法等[編集]

リーマンはまた関数 J(x) を本質的にスティルチェス積分 (en) の尺度として用い、ζ(s) と素数分布との関連を論じた。そして ln(ζ(s)) との比較を通じて、論文の主結果として J(x) を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 π(x) の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にド・ラ・ヴァレー・プーサンとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。

日本語訳[編集]

脚注[編集]

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  1. ^ 訳は上記文献の平林幹人による。(鹿野(1991)、17-28頁)
  2. ^ 黒川 et al. 1999, p. 123
  3. ^ 黒川 & 小山 2009, p. 31
  4. ^ 黒川 2009, pp. 29-31
  5. ^ s = σ + it と書く習慣はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
  6. ^ s = 1/2 + it として
    \xi(t)=\Gamma \left( \frac{s}{2}+1 \right) (s-1)\pi^{-s/2}\zeta(s)\,
    で定義する。ここに、Γ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる ξ(ゼータ関数参照)とは異なることに注意。
  7. ^ 原論文では f(x) と表されている。x ≥ 0 で定義され、J(0) = 0 かつ J(x) は素数の冪 pn 毎に 1/n ずつ飛び飛びの値をとる。
  8. ^ ξ の積表示とは、次の等式のこと。
    \xi(t)=\xi(0)\prod_{\alpha}\left( 1-\frac{t^2}{\alpha^2} \right)
    ここに α は ξ の零点で、実部が正であるものをわたる。
  9. ^ リーマン; 鈴木治郎訳 (2012年1月27日). “与えられた数より小さな素数の個数について (PDF)” (日本語). 信州大学. 2012年7月20日閲覧。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]